Въпрос относно задача по кандидат студентски изпит

[Haymanata]

Сумата x+y е константа.Произведението ху е най-голямо,когато? Леко обяснение ако може

[prodanov]

[tex]\begin{t}{|l}x+y=c\\max(xy)=?\end{t}\Leftrightarrow\begin{t}{|l}x=c-y\\max(-y^2+cy)=?\end{t}\\let\vspace{}f(y)=-y^2+cy;\\f(y)\uparrow(-\infty,y_0);\vspace{}f(y)\downarrow(y_0,+\infty);\\maxf=f(y_0)=f(-\frac b{2a})=f(\frac c2)=\frac c4^2\\\Rightarrow\\-y^2+cy=\frac{c^2}4\\4y^2-4cy+c^2=0\vspace{}|:c^2\\1)let\vspace{}c=0:y=0\Rightarrow x=0;\\2)let\vspace{}c\ne0;\\4(\frac yc)^2-4\frac yc+1=0\\(2\frac yc-1)^2=0;\Rightarrow\frac yc=\frac12\Rightarrow c=2y\Leftrightarrow x=y[/tex]

[v1rusman]

Може и още по-лесно. [tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy\ge 2xy =>xy\le\frac{(x+y)^2}{2 }[/tex]. Равенството е възможно само при [tex]x=y[/tex].

[prodanov]

A от къде дойде [tex](x+y)^2 \ge 2xy[/tex]?

[v1rusman]

[tex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy, x^2\ge0, y^2\ge0=>x^2+y^2+2xy \ge2xy[/tex]

[Haymanata]

Искате ли още задачи, че имам 402 и не всичките се сещам как се решават? Имам и 1 въпросче относно дробите имам 5-6 задачи, който имат условие "Коя от дробите е най-голяма/най-малка?".По принцип аз ги разделям примерно 8/9 , 2/3 , 17/27 искат най-малката. 8/9 ≈ 0,8888888889 , 2/3 ≈ 0,66666666667 , 17/27 ≈ 0,629629629629 и се вижда, че е 17/27, но има и по лесен начин за намирането на най-малката дроб само където не мога да се сета.

[prodanov]

На матурата ги имаше тея, ми на око го правя аз, но 'тряя смяташ бързо и точно за да стане.
ето малко от следствията на ум:
8/9 < 9/9 [tex]\Rightarrow \to[/tex] 0,9
2/3 = 66/99 [tex]\to[/tex] 66/100 [tex]\to[/tex] 0,66
17/27 > 17/34 [tex]\to[/tex] 0,6.

а другият начин е с общ знаменател.
[tex]\frac23 > \frac{17}{27}?\\
\frac{2*9}{3*9} > \frac{17}{27}\\
18 > 17[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Сумата x+y е константа.Произведението ху е най-голямо,когато? Леко обяснение ако може

[tex]x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2[/tex]
[tex]x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2[/tex]

Изваждаме ги : [tex]4xy=(x+y)^2 - (x-y)^2[/tex]
[tex]x+y=const ===>[/tex] ако [tex](x-y)^2 = min[/tex],то [tex]xy=max[/tex]
[tex](x-y)^2[/tex] приема минимална стойност при [tex]x=y[/tex]

[Haymanata]

Намерете най-малкото естествено число което при делене с 2 дава остатък 1,при делене на 3 остатък 2,при делене 4 остатък 3 и при делене с 5 остатък 4.

[Mr.G{}{}Fy]

Намерете най-малкото естествено число което при делене с 2 дава остатък 1,при делене на 3 остатък 2,при делене 4 остатък 3 и при делене с 5 остатък 4.

1-во числото е нечетно .. това е ясно
2-ро щом при деление с 5 дава остатък 4,то последната цифра от въпросното число е 4 или 9,но числото е нечетно така,че последната цифра е 9.
3.Щом сборът от цифрите на числото се дели с остатък 2,то сборът от всички цифри преди 9 се делят на 3 с остатък 2
4-то-Сега си записваш първите 7-8 числа,които завършват на 9 т.е. 9,19,29 ...
5-то-Установяваме,че числата,които изпълняват всички условия без това за деленото на 4 са от сорта 29 + k.30,като k-стествено число.
6.Сега прилагаме условията за деление с 4 и виждаме,че най-малкото число,изпълнява него и е от числата от рода 29 + k.30 е 59.
Може би това не е "най-математическото" решение,но ...

[prodanov]

Намерете най-малкото естествено число което при делене с 2 дава остатък 1,при делене на 3 остатък 2,при делене 4 остатък 3 и при делене с 5 остатък 4.

от последното следва, че последната цифра е или 4 или 9. От първото следва, че е нечетно => последната цифра е 9.

От тук за да бъде удоволетворено условието и за 4, числото става 29 + 20x (x=0,1,2,3,4...)
А за три, тряя сбора от цифрите на числото горе(+2) да се дели на 3.
\Rightarrow 13 + 2*x тряя се дели на 3. \Rightarrow 2x e четно и тряя остава остатък 2 при деление на 3. \Rightarrow 2x=3k+2(k=0,1,2,3,...)
най-малкото четно е при k=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow числото е 49.

[Haymanata]

Намерете най-малкото естествено число което при делене с 2 дава остатък 1,при делене на 3 остатък 2,при делене 4 остатък 3 и при делене с 5 остатък 4.

от последното следва, че последната цифра е или 4 или 9. От първото следва, че е нечетно => последната цифра е 9.

От тук за да бъде удоволетворено условието и за 4, числото става 29 + 20x (x=0,1,2,3,4...)
А за три, тряя сбора от цифрите на числото горе(+2) да се дели на 3.
\Rightarrow 13 + 2*x тряя се дели на 3. \Rightarrow 2x e четно и тряя остава остатък 2 при деление на 3. \Rightarrow 2x=3k+2(k=0,1,2,3,...)
най-малкото четно е при k=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow числото е 49.

хм за жалост не е 49

[Mr.G{}{}Fy]

а 59 ли е ?

[prodanov]

Лека поправка, понеже не решавам такива задачи въобще и остатъка го броя от др страна.

[tex]x,y \in N[/tex] [tex]c[/tex] е числото.
за 3:[tex]c=30x -1[/tex]
за 4:[tex]c=20y -1[/tex]
[tex]30x-1=20y-1 \Leftrightarrow 3x=2y[/tex]
като вземем предвид, че 2y е четно, най-малката стойност става при x=2,y=3 т.е 59.

[ganka simeonova]

Мили хора, хайде да разсъждаваме по детски, петокласно:)
Ако увеличиом числото с 1=> остатъците от делението на 2, 3, 4, 5, ще са с 1 повече, т.е. 2, 3, 4, 5, т.е. съизмерими с остатък 0.
Това означава, че числото, увеличено с 1 ще се дели точно на 2, 3, 4, 5. Най-малкото такова е НОК=>60.
Тогава търсеното число е 59.

[Mr.G{}{}Fy]

Мили хора, хайде да разсъждаваме по детски, петокласно:)
Ако увеличиом числото с 1=> остатъците от делението на 2, 3, 4, 5, ще са с 1 повече, т.е. 2, 3, 4, 5, т.е. съизмерими с остатък 0.
Това означава, че числото, увеличено с 1 ще се дели точно на 2, 3, 4, 5. Най-малкото такова е НОК=>60.
Тогава търсеното число е 59.

Да,това е най-лесният вариант

[ganka simeonova]

Знаете ли, кой е най-големият ми мерак?
Всички пишещи редовно в този форум ( разбира се визирам винаги себе си), да се научим да мислим рационално и чисто, колкото и математика да имаме в главата си.
Колкото и познания да имаме, относно формули, производни и пр..
Избеснявам примерно, като видя ( а наскоро видях за поредн път) НГС или НМС на квадратна ф-я, решена с първа производна...
Е, какво демонстрираме?
1) Че сме много добри с производните?
2) Не е ли по-добре да си покажем в решението естествените положения на квадратната функция?

[Mr.G{}{}Fy]

Знаете ли, кой е най-големият ми мерак?
Всички пишещи редовно в този форум ( разбира се визирам винаги себе си), да се научим да мислим рационално и чисто, колкото и математика да имаме в главата си.
Колкото и познания да имаме, относно формули, производни и пр..
Избеснявам примерно, като видя ( а наскоро видях за поредн път) НГС или НМС на квадратна ф-я, решена с първа производна...
Е, какво демонстрираме?
1) Че сме много добри с производните?
2) Не е ли по-добре да си покажем в решението естествените положения на квадратната функция?

Така е рационалното мислене спестява главоболия ... Просто аз като ученик виждам как от решаване на някакви задачи,които са по-сложни например от на матурите и накрая като почна да решавам матура и някакви сложни работи пиша ... А пък може би 12 клас човеците вече са забравили тези лесните работи и заради това се получават тия фалове

[ganka simeonova]

Какво означава, да "забравим лесните работи"?
Това означава, че често си затваряме очите за очевидните неща и ставаме слепи за красотата и чистотата на математиката..

[Mr.G{}{}Fy]

Какво означава, да "забравим лесните работи"?
Това означава, че често си затваряме очите за очевидните неща и ставаме слепи за красотата и чистотата на математиката..

Незнам в смисъл мисля или поне мислех,че големите ученици забравят даже тези основни работи ... най-елементарните основни задачи например с косинусови теореми и т.н. ,, Един път госпожата ми даде да си направя матура в къщи ... не помня бях ли,не бях ли учил синусова и косинусова теорема и и дадох да ми я провери и имах 2 нерешени задачи-едната комбинаторика(която не бях учил) другата просто не успях (тя беше последната) и тя ми каза браво и вика гледай до 12 клас да ги забравиш ... и Тогава ми стана много странно... ученици,които учат стереометрии,производни и какви ли не работи да забравят тези задачи.Просто за това написах горния пост,че явно се забравят работите незнам защо ... Макар,че смятам,че учник с желание за знание по математика,ученик който си преговаря работите,следи форуми като този например,не би имал проблем с тези основни работи . Та днес ми мина през главата едно нещо-какво става,ако си направиш предварителния за оценка от сорта 5,60-5,70 или нещо такова,а матурата я направиш за 4 ? Това е истинска странност

[prodanov]

Та днес ми мина през главата едно нещо-какво става,ако си направиш предварителния за оценка от сорта 5,60-5,70 или нещо такова,а матурата я направиш за 4 ? Това е истинска странност

На матурата си подсказвате/говорите/ - има колектив, да има макс 2-3 задачи да те затруднят. На предварителния идва един чичка с 'мустаки и ти вика 'взимай лесната тема', а ти се чудиш как да закърпиш положението, та поне да не е за 3. От личен опит ти го казвам - 6,00 на матурата. 4,40 в СУ.

Другото е въпрос на памет и интереси.

[Haymanata]

Ей развалихте ми темата с тия лафове като искате си лафите ходете си в раздел Други там има общ форум пишете колко искате.Мен ми трябва 1 задача и после решението с такива лафове просто да ги няма къш.

[prodanov]

Какво си се размрънкал, бе нахал? Вземи кажи едно мерси за решените задачи, щото до момента нямаш нерешена такава и въпреки това ревеш. Като ти трябва само задачи и решения - четеш само тях. Ай сиктир!

[ganka simeonova]

Какво си се размрънкал, бе нахал? Вземи кажи едно мерси за решените задачи, щото до момента нямаш нерешена такава и въпреки това ревеш. Като ти трябва само задачи и решения - четеш само тях. Ай сиктир!

Това ми хареса.