Конкурсна тема #2

[0xdeadbeef]

Задача 1. Да се реши:
а) системата [tex]\begin{t}{|l}
{x^2 -xy +y^2 =21\\
{2xy - y^2 =15
\end{t}[/tex]
б) уравнението [tex]{\log_{0.5x}{x^2}}[/tex] [tex]-[/tex] [tex]14\log_{16x}{x^3} + 40\log_{4x}{\sqrt{x}} = 0[/tex]

Задача 2. Дадена е функцията [tex]f(x) = \frac{1}{3}(x-a)^3 + (x-a)^2[/tex], където [tex]a[/tex] е реален параметър.
a) Да се намерят локалните екстремуми на функцията [tex]f(x)[/tex] при [tex]a=0[/tex].
б) Да се намери най-голямата стойност на функцията [tex]f(x)[/tex] в интервала [tex][-2,0][/tex], ако [tex]a>0[/tex].

Задача 3. Даден е остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] със страна [tex]AB=6[/tex]. Окръжност с диаметър [tex]AB[/tex] пресича страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex].
a) Да се намери дължината на отсечката [tex]MN[/tex], ако [tex]AC=3CN[/tex]
б) Ако [tex]MN||AB[/tex] и [tex]\angle BAN = \alpha[/tex] да се намери при коя стойност на [tex]\alpha[/tex] лицето на четириъгълника [tex]ABNM[/tex] е най-голямо.

Задача 4. Основата [tex]ABCD[/tex] на четириъгълна пирамида [tex]ABCDV[/tex] е квадрат, а околният ръб [tex]VD[/tex] е перпендикулярен на основата на пирамидата.
а) Ако [tex]VD = 8[/tex] и [tex]AD=6[/tex] да се намери лицето на околната повърхнина на пирамидата.
б) Да се намери обемът на пирамидата, ако [tex]VD=a[/tex], а двустенният ъгъл между околните стени [tex]ABV[/tex]и [tex]BCV[/tex] е [tex]120^\circ[/tex]

[prodanov]

1) a)
умножаваме горе по 5, долу по 7 и изваждаме.
[tex]5x^2-19xy+12y^2=0[/tex]
(0,0) oчевидно не е решение, дели се на [tex]y^2[/tex] и се решава като квадратно спрямо [tex]\frac xy[/tex]
1сл: [tex]x=3y[/tex]
[tex](-3\sqrt3, -\sqrt3), (3\sqrt3, \sqrt3)[/tex]
2сл: [tex]x=\frac45y[/tex]
[tex](-4,-5),(4,5)[/tex]

1) b)
[tex]D(x):x\in(0,\frac1{16})\cup(\frac1{16}, \frac14)\cup(\frac14,\frac12)\cup(\frac12,2)\cup(2,+\infty);[/tex]
x=1 e реш, нека [tex]x\ne1[/tex]
[tex]2log_{\frac12x}|x| - 42log_{16x}x + 20log_{4x}x = 0\\
2\frac1{log_x\frac12x} - 42\frac1{log_x16x} + 20\frac1{log_x4x}=0\\
\frac1{1 - log_x2} - 21\frac1{1 + 4log_x2} + 10\frac1{1 + 2log_x2} = 0\\
(1+2log_x2)(1+4log_x2) - 21(1-log_x2)(1+2log_x2) + 10(1-log_x2)(1+4log_x2)=0\\
2log^2_x2+3log_x2-2=0\\
log_x2 = -2 \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt2}2 \in D(x)\\
log_x2 = \frac12 \Leftrightarrow x=4 \in D(x)\\[/tex]

[baroveca]

Ще предложа мое решение на задача 2 и ако бъркам- поправете ме.
a) [tex]f(x)=\frac{x^3}{ 3} +x^2[/tex]
[tex]f'(x)=x^2+2x=>x=0,x=-2[/tex]
[tex]f''(x)=2x+2=>f''(0)>0=>[/tex]- локален минимум
[tex]f''(-2)=-2=>[/tex] имаме локален максимум-
[tex]f(0)_{min}=0, f(-2)_{max}=\frac{4}{3 }[/tex]

б). [tex]f'(x)=x^2-2x(a-1)+a^2-2a[/tex]
[tex]x_1=a,x_2=a-2[/tex]

[tex]f''(x)=2x-2a+2=>f''(a)=2=>[/tex] лок.минимум
[tex]f''(a-2)=-2=>[/tex] лок. максимум
[tex]f(-2)=-\frac{1}{ 3}(a+2)^3-(a+2)^2[/tex]

[tex]f(0)_{min}=\frac{3a^2-a^3}{ 3}[/tex]

[tex]f(a-2)_{max}=\frac{4}{ 3}[/tex]

[tex]f(a)=0[/tex]

Така ли е?

[prodanov]

2а)
[tex]f(x) = \frac13x^3 + x^2\\
f'(x) = x^2 + 2x = x(x+2);\\
x_0 = <-2, 0>\\
f(x) \uparrow (-\infty, -2) \cup (0,+\infty);\\f(x) \downarrow (-2,0)\\
f(x)_{max\in (-\infty,0)} = f(-2)\\
f(x)_{min\in (-2, +\infty)} = f(0)\\[/tex]

2б)
[tex]f'(x) = (x-a)^2 + 2(x-a) = (x-a)(x-a + 2)\\
f(x) \uparrow(-\infty, a-2) \cup (a, +\infty);\\
f(x) \downarrow(a-2,a);\\
a>0 \Rightarrow min(a-2)=-2 \in [-2,0]\\
1) a \in (0,2]:\vspace{}f(x)_{max\in[-2,0]} = f(a-2)\\
2) a > 2:\vspace{}f(x)_{max\in[-2,0]} = f(0)\\[/tex]

[baroveca]

Не.

А къде греша??

[prodanov]

Като почнах да пиша поста, производната на първата задачка ти беше грешна, беше написал [tex]\frac13x^2 + 2x[/tex] и от там цялото решение.

[baroveca]

Като почнах да пиша поста, производната на първата задачка ти беше грешна, беше написал [tex]\frac13x^2 + 2x[/tex] и от там цялото решение.

Не бях написал такова нещо. Аз даже не съм си редактирал поста. Както си е така бях написал производната.

[prodanov]

Може и да съм се объркал. Сори ако е така, но си спомням, че директно беше драснал f'(x).

3зад)

от АВ-диаметър=6 следва, че [tex]\angle ANB=\angle ANC=\angle BMA=\angle BMA = \angle BMC=\angle BMC=90^\circ[/tex]
нека [tex]CN=x; AC=3x; \angle NAM = \alpha[/tex]
[tex]\angle ACB = \frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AB} - \stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{MN}}2 = \angle ANB - \angle NAM = 90 - \alpha\\[/tex]
[tex]cos(90-\alpha)=sin\alpha = \frac{NC}{AC}=\frac13\\[/tex]

Питагор в [tex]\Delta ANC: AN=2\sqrt2x\\[/tex]
Питагор в [tex]\Delta ANB: NB = 2\sqrt7x\\[/tex]
cosTh в [tex]\Delta ABC: 36 = 9x^2 + x^2(1+2\sqrt7)^2 - 6x^2(1+2\sqrt7)sin\alpha \Leftrightarrow x=1[/tex]
Питагор в [tex]\Delta BAM: BM^2=36-AM^2[/tex]
Питагор в [tex]\Delta BCM: MC=\frac{4\sqrt7-7}3 + AM[/tex]
[tex]AC=AM+MC=3=\frac{4\sqrt7-7}3 + 2AM \Leftrightarrow AM=\frac{8-2\sqrt7}3 \Rightarrow MC = \frac{1+2\sqrt7}3[/tex]
CosTh в [tex]\Delta AMN: MN^2 = (\frac{1+2\sqrt7}3)^2 + 1 - 2(\frac{1+2\sqrt7}3)sin\alpha = 4 \Rightarrow MN=2;[/tex]

b)
ABMN - равнобедрен трапец, 'щото вписан в окръжност.
[tex]\Rightarrow AN = BM \Leftrightarrow \angle ABN = \angle BAN = \alpha < 90^\circ[/tex], следва от [tex]\Delta BAM \equiv^{\sim} \Delta ABN[/tex]
[tex]O = AN \cap BM; \angle = AOB = 180-2\alpha[/tex]
от АВ диаметър[tex]\Rightarrow \angle ANB=90^\circ \Leftrightarrow AN=6cos\alpha[/tex]
[tex]f(\alpha)=S_{ABNM} = \frac12AN^2sin2\alpha = 36cos^3\alpha sin\alpha\\
f'(\alpha) = 36(sin\alpha(3cos^2\alpha(-sin\alpha)) + cos^4\alpha) = 36cos^2\alpha(2cos2\alpha-1)[/tex]
при [tex]\alpha \in (0,\frac{\pi}2), \alpha_0 = \frac{\pi}6 \Rightarrow f(\alpha)_{max\in(0,\frac{\pi}2)} = f(\frac{\pi}6)[/tex]

[0xdeadbeef]

Тоя триъгълник го 'разби' от прилагане на П.Т.

[v1rusman]

3-та задача може да се реши по много по-лесен начин - тъй като ABMN е вписан, то за ъглите има AMN+ABN=180 => NMC=ABN=ABC, т.е триъгълниците ABC и NMC са подобни с коефициент 3 => MN=2. Не ти трябват толкова описвания и сметки. На останалите задачи и аз получавам същите отговори. За 4-та а) е само сметки, а за б) получвам [tex]V=a^3[/tex]. Ако не съм объркал сметките трябва да е толкова.

Като цяло темата е изключително лесна.