ZAda4a za SU

[united12]

Izvinqvam se ,4e ne pi6a na kirilica,no ne6to mi e precakana...Ako na nqkoi mu se zanimava moje li da mi pomogne s edna zada4a,4e na 11 july imam izpit v SU:
ZADA4ATA E ot sbornika na 4akurqn: 1.16 str. 7
da se namerqt stoinostite na realnite parametri p i q, za koito nai-golqmata i nai-malkata stoinost na funkciqta
f(x)=x na kvadrat +px+q i intervala (-1:1)-zatvoren! , sa suotvetno F(ngs)=1 i F(nms)=-1
Mnogo 6te sum blagodaren ako nqkoi pomogne.

[martin123456]

Да се намерят стойностите на реалните параметри [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex], за които най-голямата и най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=x^2+px+q[/tex] в интервала [tex][-1,1][/tex] са съответно 1 и -1.

[tex]f'(x)=2x+p \Rightarrow x= -\frac{p}{2}[/tex] е мястото на анулиране. И значи расте след тази точка, намалява преди, заради положителен старши коефициент.
1) [tex]-\frac{p}{2} \le -1[/tex]
[tex]f_{\min}=f(-1)=1-p+q=-1 \Rightarrow q-p=2[/tex] и [tex]f_{\max}=f(1)=1+p+q=1 \Rightarrow p+q=0[/tex]. Оттук [tex]q=1[/tex], [tex]p=-1[/tex]. Но [tex]p \ge 2 \Rightarrow \empty[/tex].
2) [tex]-\frac{p}{2} \ge 1[/tex]
[tex]f_{\min}=f(1)=1+p+q=-1 \Rightarrow p+q=-2[/tex] и [tex]f_{\max}=f(-1)=1-p+q=1 \Rightarrow p=q \Rightarrow p=q=-1[/tex]. Но [tex]p \ge -2 \Rightarrow \empty[/tex].
3) [tex]-1\le -\frac{p}{2} \le 1[/tex]
[tex]f_{\min}=f(-\frac{p}{2})=q-\frac{p^2}{4}=-1[/tex]
3.1) [tex]f_{\max}=f(-1)=1-p+q=1 \Rightarrow q=p[/tex]
[tex]\Rightarrow p-\frac{p^2}{4}=-1 \Rightarrow p_{1,2}=2\pm 2\sqrt{2}[/tex]. Като вземем ограничението за [tex]p[/tex] излиза, че [tex]p=2-2\sqrt{2}[/tex], [tex]q=2-2\sqrt{2}[/tex].
3.2) [tex]f_{\max}=f(1)=1+p+q=1 \Rightarrow p=-q \Rightarrow p_{1,2}=-2\pm 2\sqrt{2}[/tex]. Като вземем предвид ограниченията за [tex]p[/tex] излиза [tex]p=-2+2\sqrt{2}[/tex], [tex]q=2-2\sqrt{2}[/tex]