Система от неравенства

[prodanov]

Задача:[tex]log_{x+a}2 < log_x4[/tex] при [tex]0<a<\frac14[/tex]

деля лявата на дясната и обръщам логаритъма, изваждам една двойка отпред и използвам свойството на логаритмите и става:
[tex]log_{x+a}x < 2[/tex]

[tex]D(x): \begin{array}{|l}x+a\ge0\\x>0\\x\ne1\\x+a\ne1\end{array}{t}[/tex]

и сега се разглеждам 2 случая заради основата: 1) [tex]0 < x+a < 1 \Leftrightarrow -a<x<1-a[/tex]

[tex]x > (x+a)^2 \leftrightarrow x \in (\frac{1-2a - \sqrt{1-4a}}2, \frac{1-2a+\sqrt{1-4a}}2)[/tex].

т.е сега имам:
[tex]\begin{array}{|l}-a < x < 1-a\\\frac{1-2a-\sqrt{1-4a}}2 < x < \frac{1-2a+\sqrt{1-4a}}2\end{array}[/tex]

и не знам как да ги пресека, въобще се побърквам с тия параметри.

[kerry]

[tex]DM: x\ne 1, x\ne 1-a[/tex] и [tex]x>0[/tex]

[tex]\frac{1}{log_2(x+a)} - \frac{2}{log_2 x} < 0[/tex]

[tex]\frac{log_2x-2log_2(x+a)}{log_2x . log_2(x+a)} < 0[/tex]

[tex]\frac{log_2 \frac{x}{(x+a)^2}}{ log_2x . log_2(x+a)}<0[/tex]

Числителят се нулира при [tex]x=a_1 = \frac{1-2a-\sqrt{1-4a}}{2} \\\[/tex] и [tex]\\\ x=a_2 = \frac{1-2a+\sqrt{1-4a}}{2}[/tex]

Лесно се доказва, че когато [tex]0<a<\frac{1}{4}[/tex]

[tex]0<a_1<a \\\[/tex] и [tex]\\\ a<a_2 < 1-a[/tex]

Intervali.jpg (30.59 KiB) Прегледано 244 пъти

[tex]x\in (0 , a_1) \cup (a_2,1-a) \cup (1, +\infty)[/tex]