Триъгълна пирамида задача - помощ

[overlucked]

Здравейте,
задачата е следната:
Единият ръб на триъгълна пирамида е 4 dm, а всички останали са по 3 dm, Да се намери обемът на пирамидата.

[kerry]

Три пъти Питагор.

[tex]\sqrt{11} \ dm^3[/tex]

[overlucked]

дай малко по-точно обяснение, защото това "единият ръб" и "всички останали" не ми е познато, до сега не съм решавал такива задачи

[amsara]

Пускам ти решението си с уговорката, че сигурно е много дървено. Но с тоя материал, който аз знам дотук, само за това съм се сетила. Сигурно има и много по-лесно решение, с по-малко сметки.
Първо триъгълната пирамида има общо 6 ръба - 3 основни и 3 околни.Щом един от тях е 4 см, а останалите по 3см, значи, че имаш един ръб с дължина 4 см и други 5 с дължина 3 см.Който и да вземеш от ръбовете да ти е 4 см, така можеш да завъртиш пирамидата, че винаги основата й да е равностранен триъгълник със страна 3 см.Нека пирамидата означим с ABCD. AD=4 cm; =>AB=BC=AC=BD=CD=3 cm; Нека точка Н е петата на височината на пирамидата.
[tex]AH=n; DH=h => n^2+h^2=4^2 <=> n^2+h^2=16 (1)[/tex]
[tex]\Delta BHD ednakyv na \Delta CHD[/tex] по катет и хипотенуза
=>[tex]BH=CH=m => m^2+h^2=3^2 <=> m^2+h^2=9 (2)[/tex]
Изваждаме почленно уравнения 1 и 2.
[tex]n^2-m^2=16-9 <=> n^2-m^2=7 ( 3)[/tex]
[tex]\Delta ABH ednakyv na \Delta ACH[/tex]по три равни страни
[tex]=> \angle BAH = \angle CAH = \frac{60}{2 } =30 ^\circ[/tex]
Спускаме НН1[tex]\bot AC[/tex]
[tex]=>HH_{1}=\frac{n}{2 }[/tex]=>[tex](AH_{1})^2 +\frac{n^2}{ 4}=n^2[/tex]
[tex]AH_{1}=\frac{n\sqrt{3} }{2 } =>CH_{1}= 3-\frac{n\sqrt{3} }{2 }[/tex]
[tex]( 3-\frac{n\sqrt{3} }{2 })^2+\frac{n^2}{ 4}=m^2[/tex]
[tex]9-3n\sqrt{3} + \frac{3n^2}{4 } +\frac{n^2}{4 }=m^2[/tex]
[tex]n^2-m^2=3n\sqrt{3} -9 (4)[/tex]
Приравняваме 1 и 4
[tex]3n\sqrt{3}-9=7[/tex]
[tex]3n\sqrt{3} =16 <=> n=\frac{16}{3\sqrt{3} }=\frac{16\sqrt{3} }{9 }[/tex]
[tex]h^2=16-n^2=\frac{16.81-16.16.3}{ 81}=\frac{16.33}{ 81}[/tex]
[tex]h=\frac{4\sqrt{33} }{9 }[/tex]
Намираме лицето на равностранния тръъглник, който е основа на пирамидата.
[tex]S=\frac{AB.CF}{ 2}[/tex]CF e височината на тригълъника
[tex]CF=m=l =>CF^2=9 -\frac{9}{ 4}=\frac{27}{4 }[/tex]
[tex]CF=\frac{3\sqrt{3} }{ 2} => S=3.\frac{3\sqrt{3} }{ 2}.\frac{1}{ 2}=\frac{9\sqrt{3} }{ 4}[/tex]
[tex]V=S.h.\frac{1}{3 }=\frac{9\sqrt{3} }{4 }.\frac{4\sqrt{33} }{9 }.\frac{1}{3 }=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{33} }{ 3}=\sqrt{11}dm^3[/tex]

[ganka simeonova]

Браво, Сара:) Видя ли? Със знанията, които имаш на един 8-класник, решението ти е чудесно:)
АЗ бих завъртяла пирамидата, така че основата да стане триъгълник със страни 3,3,4 и равни околни ръбове и бих ползвала, че тогава върхът ще се проектира в центъра на описаната окр
Така или иначе отг е корен от 11.

[overlucked]

Благодаря много, amsara