трапец в координатна система

[rufi]

Да се намери абсцисата на точка от графиката на функцията [tex]y = 2x - x^2[/tex], за която трапецът, образуван от допирателната в тази точка, абсцисната ос, ординатната ос и правата x = 1, има най-малко лице

[prodanov]

нека точката е [tex]x_0[/tex]; точките на допирателната, пресичаща ординатата и правата х=1, са [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex].
Трапеца е очевидно от условието - правоъгълен с височина 1.
[tex]S = \frac{y_1 + y_2}2[/tex]

У-то на допирателната е [tex]y=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/tex]
откъдето [tex]y_1 = x_0^2; y_2 = x_0^2-2x_0+2[/tex]
[tex]\Rightarrow \varphi(x_0)=S=x_0^2-x_0+1\\
min\varphi(x_0) = \varphi(\frac12) = \frac34[/tex]