Симулативен изпит УАСГ - 26.06.2011

[farfolina]

Не намерих такава тема, а мисля, че би била от полза на всички кандидат-студенти. Идеи за решаване няма да са излишни.

[prodanov]

[tex]-x^2\le0 \Leftrightarrow t=2^{-x^2} \in (0,1]\\
f(t)=t^2(t-1) \Leftrightarrow t_1=0 \notin D(t); t_2=1 \Leftrightarrow x=0\\
a)\vspace{}x=1 \Leftrightarrow t=\frac12\\t^3-t^2=-\frac18\\ \frac18-\frac28=-\frac18\\
b)\vspace{}f'(t)=t(3t-2);\vspace{} t_{crit1}=0; t_{crit2}=\frac23; \Leftrightarrow f(t) \uparrow (-\infty, 0) \cup (\frac23,+\infty); f(t)\downarrow (0,\frac23)\\\Rightarrow f(t)_{max\in(0,1]} = max\left{
\begin{array}{ll}
\lim_{t\to0} f(t) =0 \\
f(1) = 0 \\
\end{array}
\right. \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}= f(1) = 0 \Rightarrow f(t) \le 0\\
j=2^{-(x-1)^2} \in (0,1]; f(j) = j^3-j^2;\\
analog: f(j)_{max\in(0,1]} = f(1) = 0; \Leftrightarrow j_0 = 2^{-(x-1)^2} = 1 \Rightarrow x_{jmax} =1;\\ |sin\pi x| \ge 0; f(j)=|sin\pi x|, f(j) \le 0 \Rightarrow |sin\pi x| = 0[/tex].
И тъй като [tex]x_{jmax} = 1[/tex] и [tex]|sin\pi| = 0[/tex] ,то реш е [tex]x=1[/tex]
[tex]c)\vspace{} f(t) -a = 0\\ f(t)_{min\in(0,1]}=f(\frac23)=-\frac4{27}[/tex]
[tex]f(t)[/tex] има 1 корен минимум, щот полинома е е от нечетна степен
при [tex]a\in(-\infty, -\frac23): f(0)=f(1)>f(\frac23)>0[/tex]
и [tex]a\in(0,+\infty): 0>f(1)=f(0)>f(\frac23)[/tex] лок екстремиумите са с еднакъв знак --> има един корен.
при [tex]a=0[/tex] и [tex]a=-\frac23: f(0)=f(1)>0; f(-\frac23)=0[/tex] лок мин е 0 --> 2 корена
при [tex]a\in(-\frac23,0): f(0)=f(1)>0; f(\frac23)<0 \Rightarrow[/tex] има лок макс по-голям от 0, лок мин по-малък от 0--> 3 корена.

на 2ра a) e 10? 2 пъти радиуса е средната отсечка или греша?

[0xdeadbeef]

[tex]f(x) = 8^{-x^2} - 4^{-x^2} \le 0 \Leftrightarrow 8^{-x^2} \le 4^{-x^2} \Leftrightarrow 2^{-3x^2} \le 2^{-2x^2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -3x^2 \le -2x^2 \Leftrightarrow x^2 \ge 0[/tex] Q.E.D

[0xdeadbeef]

Нека [tex]DM=x[/tex], тогава [tex]CQ = 5-x[/tex] и [tex]BQ = 6 + x[/tex].
[tex]\triangle BOC[/tex] е правоъгълен понеже [tex]OC[/tex] и [tex]OB[/tex] са ъглополовящи на съседните ъгли [tex]BCD[/tex] и [tex]ABC[/tex], a [tex]OQ=r[/tex] е височина в този триъгълник, също така в [tex]\triangle BOC[/tex] е в сила [tex]OC^2 = r^2 = CQ.BQ = (5-x)(6+x)[/tex]. [tex]\small{(1)}[/tex]
Аналогично за [tex]\triangle AOD[/tex] : [tex]OP^2 = r^2 = DP.AP = x(9-x)[/tex] [tex]\small{(2)}[/tex].
Приравняваме [tex]\small{(1)}[/tex] и [tex]\small{(2)}[/tex]: [tex]x(9-x) = (5-x)(6+x)[/tex], оттук намираме [tex]x=3[/tex].

а) [tex]S = \frac{1}{2}(AB + CD)MT = \frac{1}{\cancel{2}}(15 + 5)\cancel{2}r = 20r[/tex]. Заместваме с [tex]x=3[/tex] в [tex]\small{(2)}[/tex] и намираме [tex]r = 3\sqrt{2}[/tex]
Отговор: [tex]S = 60\sqrt{2}; r = 3\sqrt{2}[/tex]

б) [tex]DM=DP=x; AP=AT=9-x; BT=BQ=6+x; CQ=CM=5-x[/tex], заместваме с [tex]x=3[/tex] и намираме дължините.
Отговор: [tex]2;3;6;9[/tex]

в) Като използваме, че [tex]MT[/tex] е диаметър на [tex](k)[/tex], [tex]MT \perp AB[/tex], [tex]\angle QTM = \angle QPM[/tex] (измерват се с дъгата [tex]MQ[/tex]) и [tex]\angle MTP = \angle PQM[/tex](измерват се с дъгата [tex]PM[/tex]), лесно намираме ъглите на [tex]\triangle PQT[/tex].
По синусува теорема: [tex]PT = 2r\sin{(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = 2r\cos{\frac{\alpha}{2}}[/tex]; [tex]QT = 2r\sin{(90^\circ - \frac{\beta}{2})} = 2r\cos{\frac{\beta}{2}}[/tex]
[tex]S_{\triangle PQT} = \frac{1}{2}PT.QT\sin{(\frac{\alpha + \beta}{2})} = \frac{4r^2\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\sin{(90^\circ -\frac{\gamma}{2})}}{2} = 2r^2\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}[/tex]

trap'.jpg (16.23 KiB) Прегледано 5931 пъти

[0xdeadbeef]

@prodanov, a) не ти е пълна.
[tex]t^3 - t^2 + \frac{1}{8} = 0[/tex], знаем, че [tex]t=\frac{1}{2}[/tex] е корен на уравнението, по схемата на Хорнер разлагаме:
[tex](t - \frac{1}{2})(t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}) = (t-\frac{1}{2})[(t - \frac{1 + \sqrt{5}}{4})(t - \frac{1 - \sqrt{5}}{4})]= 0[/tex], оттук
[tex]t=\frac{1}{2};\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}[/tex], от които само [tex]t=\frac{1}{2} \in (0,1][/tex] и [tex]t=\frac{1+\sqrt{5}}{4} = \sim 0.809 \in (0,1][/tex].

[tex]2^{-x^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2^{-x^2} = 2^{-1} \Leftrightarrow x^2 =1 \Rightarrow \fbox{x = \pm 1}[/tex]
[tex]2^{-x^2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \Leftrightarrow 2^{x^2} = \frac{4}{1 + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 1 \Leftrightarrow x^2 = \log_{2}{(\sqrt{5} - 1)} \Rightarrow x = \fbox{\pm \sqrt{\log_{2}{(\sqrt{5} - 1)}}}[/tex]

[prodanov]

Не пише ли в условието да се докаже, че [tex]f(1) = -\frac18[/tex]?

П.П аа тряя се намерят другите корени, е не съм го видял въобще.

[saipul]

Пичове, за лицето на сечението какво получавате? А на 3в нали не може да е ромб?

[uchenik75]

За лицето на сечението получавам 3/16.[tex]\sqrt{61}[/tex] [tex]a^2[/tex] а ти?

[meri]

Аз също получавам, че не може да е ромб. За лицето само коефициентът ми е различен 23/144 !

[saipul]

Opa... сечението е ромб ако ЦН=2а. Но я ми обяснете как смятате лицето, че нещо забатачих. Получавам един петоъгълник и не мога да намеря височината на трапеца

[meri]

Аз я реших по следния начин: Първо проектираш сечението в равнината на основата. След това ползваш формулата, че S на проекцията е равно на S на сечението . cos на двустенния ъгъл. Но от а) имаш tg на ъгъла, след което намираш cos. И ти остава само да намериш лицето на проекцията, което не е трудно!

[saipul]

meri, ... Бях го забравил този трик

благодаря ти

пс получих и аз 23/144 коефициент.