Задача от изпит - УАСГ

[farfolina]

Задача 2. Триъгълникът ABC е равнобедрен (AC=BC), при което AB<AC. Основата и бедрото на △ABC са положителните корени на биквадратното уравнение x^4 −13x^2 + 36 = 0. Да се пресметнат:
а) Дължините на ъглополовящата AL и височината AH към
бедрото BC.
б) Косинуса на ъгъла между AL и AH.
в) Разстоянието между центровете на вписаната и описаната
окръжности.

*Чертежът отговаря на условия а) и б)
От уравнението намирам, че AC=BC= 3см. и AB=2см.
Интересно ми е как се намира ъглополовящата AL.

Ако някой има желание може да реши и подточка в), за нея нямам никакви идеи.

[ganka simeonova]

[tex]AL^2=AB.AC-LB.LC[/tex]

[farfolina]

[tex]AL^2=AB.AC-LB.LC[/tex]

и аз бях стигнала до това, но как да намеря CL и LB?

[prodanov]

Имаш двете страни, използвай че [tex]AL = 2\frac{AB.AC}{AB+AC}cos\angle\frac{BAC}2[/tex]

[ganka simeonova]

Имаш двете страни, използвай че [tex]AL = 2\frac{AB.AC}{AB+AC}cos\angle\frac{BAC}2[/tex]

Стига се тези косинуси!

[ganka simeonova]

[tex]AL^2=AB.AC-LB.LC[/tex]

и аз бях стигнала до това, но как да намеря CL и LB?

Ами ползвай свойството на ъглополовящата.
[tex]\frac{BL}{ CL} =\frac{AB}{ AC}[/tex]
Извинявай, в УАСГ ли ще кандидатстваш? Питам, защото това е Осн. задача..

[farfolina]

Да, в УАСГ ще кандидатствам. Колко повече наближава изпитът, всички формули ми се объркват в главата. За добро или лошо, ще разбера.
Това с косинуса формула ли е, понеже аз не получавам отговора като заместя?

[ganka simeonova]

Формула е, но е необходимо да я знаеш. И аз не я знам наизуст. Ползвам я (като си я извеждам само за някои специални ъгли).

[strangerforever]

[tex]AL^2=AB.AC-LB.LC[/tex]

и аз бях стигнала до това, но как да намеря CL и LB?

[tex]CL = \frac{ab}{b+c}[/tex]

[tex]LB = \frac{ac}{b+c}[/tex]


За в) получавам [tex]\frac{3\sqrt{2}}{8}[/tex], но е възможно да съм допуснал грешка.

Поправка: Забравил съм да коренувам

[ganka simeonova]

Абе хора, защо пускате само някакви си формули?
Човек не може да наизусти всичко, а и не е необходимо. Та намирането на тези отсечки си е основна задачка от 9 клас.

[strangerforever]

Абе хора, защо пускате само някакви си формули?
Човек не може да наизусти всичко, а и не е необходимо. Та намирането на тези отсечки си е основна задачка от 9 клас.

Защото тези дължини се ползват наготово и е загуба на време да ги намираш, при положение, че се помнят лесно. Ясно е на всички, че е основна задача и че става елементарно, просто ползването им наготово пести време. (говоря в случая за това, което аз написах)

[farfolina]

[tex]CL = \frac{ab}{b+c}[/tex]

[tex]LB = \frac{ac}{b+c}[/tex]


За в) получавам [tex]\frac{9}{32}[/tex], но е възможно да съм допуснал грешка.

Тази формула все пак се оказа най-полезна за мен в случая.
Както и това за отношенията. Благодаря за помощта.

[prodanov]

Абе хора, защо пускате само някакви си формули?
Човек не може да наизусти всичко, а и не е необходимо. Та намирането на тези отсечки си е основна задачка от 9 клас.

Щото когато си на изпит времето е ценно.

[ganka simeonova]

Ценно? Даааа, ценно е. Но не ми казвай, че ще намериш по-бързо косинуса на ъгък, поел кос. на половинката...(и това, ако знаеш ф-та наизуст). А иначе ф-та за ъглополовящата и моите 9-класници я знаят!

[mkmarinov]

Знанието на формула е резултат от многократното й извеждане и ползване. Например основата в равнобедрен триъгълник е [tex]a=2b\sin\frac{\alpha}{2}[/tex]. Никъде не съм го виждал като формула. След правенето на 100 косинусови теореми в различни задачи се запомня.

[CappyHappy]

За в) използвай формулата за отсечката [tex]OI[/tex] (където [tex]O[/tex] и [tex]I[/tex] са съответно центровете на вписаната и на описаната окръжности)
[tex]OI^2 = R^2 - 2Rr[/tex]
Отговорът е който strangerforever е получил: [tex]\frac{3\sqrt{2}}{8}[/tex]