Симулативен изпит УАСГ - 03.07.2011г.

[uchenik75]

Зад.1(6точки) Дадено е уравнението sin2x=1+аsinx-cos2x , където а е параметър.
а) За коя стойност на а уравнението има корен ∏/12 ? (1точка)
б) Да се реши за а=√2. (3точки)
в) За кои стойности на а уравнението има точно 3 различни решения в интервала [0;∏]

Зад.2(7точки) В ▲АВС [tex]\angle ABC=\beta[/tex], а [tex]\angle ACB=2\beta[/tex]. Страната АВ е пресечена в точката L от окръжността, минаваща през точките А, С и центъра О на описаната около ▲АВС окръжност.
а) Да се докаже, че CL е ъглополвяща на [tex]\angle ACB[/tex] (2точки)
б) Да се докаже, че [tex]c^2=b^2+ab[/tex], където a=BC, b=CA и c=AB. (3точки)
в) Да се намери отношението AL:LB ако cosβ=3/4 (2точки)

Зад.3(7точки) Дадена е права четириъгълна призма ABCD[tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] с основа ромба АВСD с остър ъгъл α при върха А и диагонал BD=d. През BD и върха [tex]C_{1 }[/tex] е прекарана равнина, сключваща остър ъгъл β с равнината (АВС).
а) Да се докаже, че обемът на призмата е V=0,25.[tex]d^{3 }.cotg^{2 }\alpha/2[/tex].tgβ (3точки) `(Ъгълът е α върху 2)
б) Ако ъгъл β=α да се намери за кой ъгъл α обемът е най-малък. (2точки)
в) Нека PQ е оста-отсечка на правите D[tex]D_{1 }[/tex] и B[tex]C_{1 }[/tex], където Р е точка от D[tex]D_{1 }[/tex], а Q e точка от B[tex]C_{1 }[/tex] (т.е. PQ е [tex]\bot[/tex] на D[tex]D_{1 }[/tex] и B[tex]C_{1 }[/tex]). Да се намери в какво отношение Q дели B[tex]C_{1 }[/tex]. (2точки)

[prodanov]

[tex]1)
sin2x=1+asinx-cos2x\\
2sinxcosx=2sin^2x+asinx\\
sinx(2cosx-2sinx-a)=0\\
sinx=0 \cup cosx-sinx=\frac a2\\
x_1=0; x_2=\pi\\
sin(\frac{\pi}4-x)=\frac {a\sqrt2}{4}[/tex]

в) тъй като
[tex]\frac{\pi}4 \ge \frac{\pi}4 - x \ge \frac{5\pi}4[/tex]
то при [tex]\frac{\pi}4-x\in (5\frac{\pi}4,7\frac{\pi}4)[/tex] у-то ще има още две решения, поради растенето и намаляването на ф-ята в интервала.[tex]\Rightarrow \frac{\pi}4-x \in (-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4][/tex]. Лявата страна расте в тоя интервал [tex]\Rightarrow a \in (-2,2][/tex]

б) [tex]sin(\frac{\pi}4-x)=\frac12 \Leftrightarrow x_1=\frac{\pi}{12}; x_2=0; x_3=\pi[/tex]

a) [tex]sin(\frac{\pi}4-\frac{\pi}{12})=\frac {a\sqrt2}{4} \Leftrightarrow sqrt2=a[/tex]

[0xdeadbeef]

a) [tex]\angle AOC = \angle ALC = 2\angle ABC[/tex]. Прилагаме теоремата за сбор на ъглите в триъгълник за [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle ALC[/tex]. Намираме [tex]\angle ACL = \beta[/tex], но [tex]\angle ACB = 2\beta[/tex], следователно [tex]CL[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex].

б) Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] : [tex]c^2 = a^2 +b^2 -2ab\cos{2\beta}[/tex] [tex]\small{(\ast)}[/tex].
Синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]c = 2R\sin{2\beta}[/tex] [tex]\small{(1)}[/tex]
[tex]b = 2R\sin{\beta}[/tex] [tex]\small{(2)}[/tex] , където [tex]R[/tex] е радиуса на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
От [tex]\small{(1)}[/tex] и [tex]\small{(2)}[/tex] изразяваме [tex]\cos{\beta} = \frac{1}{2}.\frac{c}{b}[/tex] [tex]\small{(3)}[/tex].

[tex]\cos{2\beta} = 2\cos^2{\beta} -1 = \frac{1}{2}(\frac{c}{b})^2 -1[/tex] (предвид [tex]\small{(3)}[/tex]).

[tex]c^2 = a^2 + b^2 -2ab[\frac{1}{2}(\frac{c}{b})^2 -1] = a^2 + b^2 -c^2\frac{a}{b} + 2ab \Leftrightarrow c^2(\frac{a+b}{b}) = (a+b)^2 \Leftrightarrow c^2 = \frac{b(a+b)^{\cancel{2}}}{\cancel{(a+b)}}=b^2 + ab[/tex].

в) [tex]\frac{AC}{BC} = \frac{\cancel{2R}\sin{\beta}}{\cancel{2R}\sin{3\beta}}=\frac{\sin{\beta}}{3\sin{\beta} -4\sin^3{\beta}} = \frac{\sqrt{1 - cos^2{\beta}}}{3\sqrt{1-cos^2{\beta}} - 4(\sqrt{1-cos^2{\beta}})^3} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{3\frac{\sqrt{7}}{4} - 4(\frac{\sqrt{7}}{4})^3} = \frac{4}{5}[/tex].
По св. на ъглополовящата CL : [tex]\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}[/tex]

t=6892.jpg (13.81 KiB) Прегледано 6998 пъти

[atnast]

prodanov, май нещо не си разбрал условието на първа задача. Интервала [0;[tex]\pi[/tex]] се появява чак на в) подточка, тоест на б) отговорите ще са [tex]x_{1}=\frac{\pi }{12 } +2k\pi , x_{2}=\frac{-7\pi }{12 } +2k\pi , x_{3}=k\pi[/tex]. Освен това на в) подточка [tex]\frac{\pi }{4 }-x\in [-\frac{3\pi }{ 4};\frac{\pi }{4 }][/tex], тоест [tex]sin(\frac{\pi }{4 }-x)\in [-1;\frac{\sqrt{2} }{2 }][/tex]. Оттук [tex]a\in [-2\sqrt{2};2][/tex] и за да не се повтарят корени трябва [tex]a\ne -2; a\ne 2[/tex]. Оттам [tex]a\in [-2\sqrt{2};-2)\cup (-2;2)[/tex].

[prodanov]

Ако [tex]u=\frac{\pi}4-x\in[-3\frac{\pi}4,-\frac{\pi}4][/tex] ще има 2 u, които да са решения, горе има още 2 - 4 стават, а ти тряят 3. За др съм съгласен, просто почнах задачата отзад напред.

[saipul]

Пичове, на 2б п/4 ли е тоя ъгъл?

[meri]

На 3 зад. б) аз получавам отговор α=60°. Толкова ли е??

[uchenik75]

И аз на зад 3Б) получавам 60°

[saipul]

60 и аз получих сега. Предният път съм я решавал грешно

[meri]

Някой може ли да помогне за 3. в) ??

[saipul]

3в Упътване: Трябва да се използва че PQ e перпендикулярна и на BC т.е Проекцията й върху равнината на основата е височината на ромба към БЦ
Posle prez Q puskash успоредна на ДД1 и от там нататъка е ясно.

[meri]

даа благодаря много

[meri]

Някой може ли да обясни решението на 1. в) . Корените са x=0 и x= П. А третият корен как се получава?

[prodanov]

тряя се намери за кои а е изпълнено[tex]sin(x+\frac{\pi}4)=a\frac{\sqrt2}4[/tex] да има само 1 корен.

1. Даден интервал за х, намираш интервал за х + пи/4, имай предвид, че корените тряя са различни.
[tex]0 < x < \pi \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}|+\frac{\pi}4\\
\frac{\pi}4 < x + \frac{\pi}4 < \frac{5\pi}4\\[/tex]

2. ограничаваш го, така че у-то да има само 1 решение
Знаеш, че [tex]sin(-\frac{\pi}2 - \alpha) = sin(-\frac{\pi}2 + \alpha) \Rightarrow x+\frac{\pi}4=\varphi \notin (\frac{5\pi}4, \frac{7\pi}4)[/tex]
тогава остава [tex]\varphi \in [\frac{7\pi}4, \frac{\pi}4)[/tex] от първия интервал

3. Решаваш го
[tex]sin(\varphi)[/tex] расте в горепосочения интервал [tex]\Rightarrow sin(\frac{7\pi}4) \le sin(\varphi) < sin(\frac{\pi}4)[/tex]
[tex]-\frac{\sqrt2}2 \le a\frac{\sqrt2}4 < \frac{\sqrt2}2 \Leftrightarrow -2\le a< 2[/tex]

[meri]

Разбрах А за 3. в) BQ : C1Q = 2.sin^{2 } α/2 : cosα ? Вие колко получавате??

[atnast]

Prodanov, на 1. в) наистина не съм бил прав, но все пак освен интервала [-2;2) има още едно решение, [tex]a=-2\sqrt{2}[/tex].