Успоредник-лицето е?

[andrea_doll]

Дадено е успоредник АВСD с диагонали AC=5, BD=8. Намерете лицето на успоредника, ако ъгъл CAB=2ъгълABD.

[matdia]

Разглеждаме ▲АОВ с височина ОО1
ОО1/ОВ=sinα
OO1/AO=sin2α=2sinαcosα
OO1= sinα*4=2sinαcosα*2,5
cosα=4/5 sinα=3/5 cos2α=7/25 sin2α= 24/25 sin 3α=117/125

Разглеждаме ▲АСD с височина DD1
DD1/DO=sin3α
DD1=4*117/125=468/125
Sabsd=2*Sasd=2*AS*DD1/2=5*468/125=468/25

[darinalazarova73]

AС пресича ВD в т. О,за тр-к АВО sin теорема
[tex]\frac{5}{2sin \alpha}[/tex]=[tex]\frac{4}{sin 2\alpha}[/tex]
[tex]\frac{5}{2sin \alpha}[/tex]=[tex]\frac{4}{2sin\alpha cos\alpha}[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex];sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex];[tex]\angle[/tex]COB=3[tex]\alpha[/tex]
S=[tex]\frac{AC.BDsin3\alpha}{2}[/tex]
S=[tex]\frac{5.8}{2}[/tex](3[tex]sin\alpha[/tex]-4[tex]sin\alpha[/tex]*3)
S=20(3.[tex]\frac{3}{5}[/tex]-4([tex]\frac{3}{5}[/tex])*3)
S=20([tex]\frac{225}{125}[/tex]-[tex]\frac{108}{125}[/tex])=20[tex]\frac{117}{125}[/tex]
S=[tex]\frac{468}{25}[/tex]