Задачи от УАСГ

[sisoko15]

Здравейте на всички, бих искал да попитам за няколко задачи от УАСГ дали можете да хвърлите едно рамо:
1.Задача
[tex]\sqrt[3]{(ax + b)^2} + \sqrt[3]{(ax - b)^2} + \sqrt[3]{(ax)^2 - b^2} = \sqrt[3]{b}[/tex]

A)Да се реши уравнението при b=1.
Б)Да се намери за кои стойности на параметрите a и b уравнението има единствено решение.

2.Задача
Дадено е уравнението
[tex]\sqrt{a + b + 1 - \sqrt{a(x + 1)} } = x + 1 - \sqrt{a}[/tex], където а [tex]\ge[/tex] 0 е реален параметър.
А)Да се реши уравнението при а=1.
Б) Да се реши уравнението при всяка допустима стойност на а.
В)Да се докаже, че решението x(a) е монотонно растяща функция на а в интервала [1;[tex]\infty[/tex]) и да се намери границата на x(a) при а клонящо към безкрайност.

3.Задача
Окръжността с диаметър BC се допира до вписаната в триъгълника ABC окръжност.
А)Да се дикаже, че ar=(p - b)(p - c), където AB=c, BC=a, AC=b, p е полупериметъра,а r - радиус на вписаната в триъгълника ABC окръжност.
Б)Да се намери лицето на триъгълника BC по дадени BC=a и r - радиус на вписаната в триъгълника ABC окръжност.
В)Ако и окръжността с диаметър AB се допира до вписаната в триъгълника ABC окръжност, да се докаже, че BC=AB

4.Задача
Основата ABCD на четириъгълна пирамида ABCDF е правиъгълник, а всички околни стени са равнолицеви триъгълници.Околния ръб AF има дължина [tex]\sqrt{3}[/tex] , а двустенният ъгъл между стените (ABC) и (ADF) има мярка [tex]\frac{2\pi }{3 }[/tex].
А)Да се докаже, че пирамидата е правилна.
Б)Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнината, минаваща през средата на ръба AF и перпендикулярна на околния ръб CF.

ПП: Благодаря предварително!

[L.e.o]

Зад.4.
а) Основата е четириъгълнил. Тоест срещуположните страни на основата са равни. За да са равнолицени срещуположните околни стени то трябва височинити им (нали са триъгълници) да са равни. Тоест височината F на пирамида се проектира в точка равно отдалечена от 2 срещуположни страни на основата. Тоест, за да имаме 2 по 2 равнолицеви околни страни, F се проектира точно в центъра на осонова. Но по услови и 4те околки страни са равни, а не 2 по 2. Тоест основите им (нали са триъглници) са равни. Тоест, основата не пирамидата не е само правоъгълник, а е и квадрат. Квадрат + височина проектираща се в центъра на квадрата = правилна 4-ъгълна пирамида.

б)
Чертежа:
Начертай си правилна 4-ъгълна пирамида.
Начертай си FO - височина на пирамидата (O лежи на АВСD)
A1 - средна на АF
C1 e такава, че А1С1 _|_ FC
A1C1 пресича FO в точка Р.
През точка Р начертай права D1B1 успоредна на DB. (D1 лежи на FD, В1 лежи на FB)

Сега търсим лицето на "хвръчилото" А1В1С1D1.

Нека разгледаме ▲АВF(FM - височина в него) и ▲FOM . Имаме , че <FMO = 60° . С малко сметки намираме височина на пирамидата и страната на основата и: АВ = 2√3/√5 и FO = 3/√5

АС = 2√6/√5
sin <FAO = FO/FA = 3/√3√5 = √3/√5

Разгеждаме тр. АСF: sin теорема: AC / sin<AFC = FC/ sin< FAC => sin <AFC = 2√6/5


Разгеждаме тр. FA1C1: sin <AFC = A1C1 / FA1 => A1C1 = 3√2/5
С малко сметки намираме FP( <OFC веднага го намираме, а FC1 по пит.теорема също го намираме), a от там с подобие на тригълници ползваме D1B1/FP = FO/DB и така намираме D1B1.