АМ/АP+DM/DQ

[ganka simeonova]

В равнобедрен трапец ABCD е вписана окръжност, която се допира до СВ в т.М. Нека АМ пресича окръжността в т.Р, а DM -в т. Q.
Да се намери [tex]\frac{AM}{AP} +\frac{DM}{DQ}[/tex]

[kerry]

Няма да пускам цялото си решение. Само ще издам начинът, по който я реших.

Означавам с [tex]\alpha[/tex] ъгълът между бедрото и основата и получавам

[tex]\frac{AM}{AP}=5-4cos\alpha[/tex]

[tex]\frac{DM}{DQ}=5+4cos\alpha[/tex]

[strangerforever]

Няма да пускам цялото си решение. Само ще издам начинът, по който я реших.

Означавам с [tex]\alpha[/tex] ъгълът между бедрото и основата и получавам

[tex]\frac{AM}{AP}=5-4cos\alpha[/tex]

[tex]\frac{DM}{DQ}=5+4cos\alpha[/tex]

Същото решение. Интересно ми е решението на ganka simeonova.

[ganka simeonova]

Много съжалявам,но аз никъде не видях решение, а само някакви изрази за отношенията, идващи незнайно откъде.
Колега, ще се радвам да напишеш ти своето решение и после аз моето.

[Mr.G{}{}Fy]

Добре,stranger би ли постнал твоето решение ? А след това и Госпожа Симеонова

[kerry]

Trapec.png (8.54 KiB) Прегледано 344 пъти

От свойството на секущите

[tex]AP.AM=AH^2[/tex]

[tex]\frac{1}{AP.AM}=\frac{1}{AH^2}[/tex]

Умножаваме двете страни с [tex]AM^2[/tex]

[tex]\frac{AM}{AP}=\frac{AM^2}{AH^2}[/tex]

[tex]AM^2[/tex] намираме чрез косинусова теорема за триъгълник ABM.

[tex]\frac{AM}{AP}=\frac{a^2+(\frac{a}{2})^2-2a (\frac{a}{2}) cos \alpha}{(\frac{a}{2})^2}=5-4cos\alpha[/tex]

По същия начин намираме

[tex]\frac{DM}{DQ}=\frac{b^2+(\frac{b}{2})^2-2b (\frac{b}{2}) cos(\pi- \alpha)}{(\frac{b}{2})^2}=5-4cos(\pi-\alpha)=5+4cos\alpha[/tex]

[tex]\frac{AM}{AP}+\frac{DM}{DQ}=5 \cancel{-4cos\alpha}+5 \cancel{+4cos\alpha}=10[/tex]

[ganka simeonova]

Точно това е решението Моето също е такова.