Няколко задачи от примерна тема за ВТУ, ПУ, ИУ-Варна

[metamorphosis]

1. Да се реши уравнението:
[tex]\sqrt{log_{x }\sqrt{3x} } . log_{3 }x = -1[/tex]

2. Да се реши системата:
[tex]xy + x - y = 7[/tex]
[tex]x^{2 }y - xy^{2}=6[/tex]

3. Дадена е функцията
[tex]f(x)=\frac{x^{2 } + 1}{x }[/tex]
а) Решете уравнението [tex]f'(x) + \frac{f(x)}{x } + \frac{1}{x }=1[/tex]
б) Първият член [tex]a_{1 }[/tex] на аритметична прогресия е равен на локалния максимум на f(x), вторият член [tex]a_{2 }[/tex] е равен на локалния минимум на f(x). Намерете n, ако сумата на първите n члена на прогресията е равна на 30.
в) Намерете най-голямата стойност (НГС) и най-малката стойност (НМС) на f(x) в интервала [-3; 1)

[amsara]

2. Да се реши системата:
[tex]xy + x - y = 7[/tex]
[tex]x^{2 }y - xy^{2}=6[/tex]

[tex]xy=a; x-y=b[/tex]
[tex]|xy+(x-y)=7[/tex]
[tex]|xy(x-y)=6[/tex]

[tex]|a+b=7[/tex]
[tex]|ab=6 <=>b=\frac{6}{a }[/tex]

[tex]a+\frac{6}{a }=7 <=>a^2-7a+6=0; a_{1}=1; a_{2}=6[/tex]
[tex]b_{1}=6; b_{2}=1[/tex]

Връщаме се към полагането и нататък вече е ясно.

[strangerforever]

1. Да се реши уравнението:
[tex]\sqrt{log_{x }\sqrt{3x} } . log_{3 }x = -1[/tex]

[tex]x > 0, x \ne 1[/tex]

[tex]log_x\sqrt{3x} = \frac{1}{2}(1 + log_x3)[/tex]

Нека [tex]log_x3 = t \Rightarrow log_3x = \frac{1}{t}[/tex]

Тогава имаме:

[tex]\sqrt{\frac{1}{2}(1 + t)} = -t[/tex]

При [tex]t < 0[/tex] вдигаме на квадрат (не, няма нужда от [tex]t \ge -1[/tex], няма да спорим дали трябва да се пише.):

[tex]1 + t = 2t^2[/tex]

Само [tex]t = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}[/tex] е решение.

[Consigliere-]

На 3то а) -1 ли е?

[ptj]

На 3то а) -1 ли е?

Да,а цялата задача е тривиална за един 10-класник.