Показателно параметрично уравнение

[ganka simeonova]

Да се реши уравнението

[tex](\frac{1-a^2}{2a } )^x+1=(\frac{1+a^2}{ 2a} )^x[/tex], [tex]a\ne 0[/tex]

[Consigliere-]

Някой би ли го решил ? Искам да знам как става ...

[ganka simeonova]

Някой би ли го решил ? Искам да знам как става ...

Е, чакай малко де. Задачата е пусната днес

[ptj]

При [tex]x=2[/tex] е изпълнено за всяко [tex]a\ne 0[/tex].

[ganka simeonova]

При [tex]x=2[/tex] е изпълнено за всяко [tex]a\ne 0[/tex].

Страхотен отговор, но не и решение!
ptj, моля те, задачата е за кандидатстуденти. Нека я помислят и някой, ако иска и може, да даде решение!
Хайде да ги оставим тези ученици, поне ден-два да помислят!

[Consigliere-]

Аре решете го да му се невиди ...

[Xixibg]

След 2-3 дена ако не успеете ще ви го решим я аз г-жа Симеонова, я някой друг.
Помъчете се малко

[kucheto]

Една идея от мен:
Полагаме: [tex]\frac{1-a^2}{2a}=u\Rightarrow \frac{1+a^2}{2a}=\sqrt{u^2+1}[/tex]
Получаваме: [tex]u^x+1=\sqrt{u^2+1}^x[/tex]
От [tex]\sqrt{u^2+1}>u[/tex] за всяко u, следва, че с увеличаването на аргумента x, [tex]\sqrt{u^2+1}^x[/tex] расте по-бързо от [tex]u^x[/tex], а равенство и решение има само в случая на [tex]x=2[/tex]
Това е за случая при [tex]u>0\Rightarrow a<-1\ \cup\ a\in (0;1)[/tex]
При [tex]u\le 0[/tex] не знам... време е за лягане, че утре съм на даскало.

[physics]

Функцията [tex]b^x[/tex] е дефинирана само за b≥0 => определяме ДМ за а. [tex]\frac{1+a^2}{2a }[/tex]≥0[tex]\cup[/tex][tex]\frac{1-a^2}{2a }[/tex]≥0 е изпълнено само за а[tex]\in[/tex]( 0;1] но от друга страна в този интервал лявата страна на уравнението е намаляваща ([tex]\frac{1-a^2}{2a }[/tex]<1 за всяко а от ДМ [tex]\cup a\ne1[/tex])
Дясната, обаче е нарастваща, защото [tex]\frac{1+a^2}{2a }[/tex]>1 за всяко а от ДМ. Следователно уравнението има само едно решение. Лесно се установява, че то е x=2. Следователно за всяко а от ДМ[tex]\cup a\ne1[/tex] решение е само x=2.При а=1 всяко x e решение.

[Xixibg]

Само да спомена ,че за [tex]a=1[/tex] всяко [tex]x[/tex] е решение ,а ДМ за [tex]a[/tex] е [tex]a\ne 0[/tex]
Така ,че продължавайте да мислите

[trig]

Дефиниционното множество за параметъра е а≠0 само ако търсим x в множеството на целите числа, иначе за реални нецели х дефиниционното множество е по тясно. Със субституцията [tex]a=\cot \frac{t}{2},[/tex] [tex]0<t<\pi[/tex] уравнението се свежда до [tex](\cos t)^x+(\sin t)^x=1.[/tex] При [tex]t=\frac{\pi}{2}[/tex] всяко х е решение. При t≠п/2 решението е x=2.

[Xixibg]

Дефиниционното множество за параметъра е а≠0 само ако търсим x в множеството на целите числа, иначе за реални нецели х дефиниционното множество е по тясно. Със субституцията [tex]a=\cot \frac{t}{2},[/tex] [tex]0<t<\pi[/tex] уравнението се свежда до [tex](\cos t)^x+(\sin t)^x=1.[/tex] При [tex]t=\frac{\pi}{2}[/tex] всяко х е решение. При t≠п/2 решението е x=2.

Какво точно полагаш?
[tex]a=cotg {\frac{t}{2}}[/tex] или [tex]a=cos {\frac{t}{2}}[/tex]

[physics]

Да, решението ми е некоректно. При отрицателно b, [tex]b^x[/tex] не е дефинирана само при дробен показател. Решението на trig с полагането е много добро. Браво !

[Xixibg]

Идеята е добра ,но решението е непълно

[strangerforever]

По-скоро tg.

[tex]a = tg\frac{t}{2}, t \in (0;\pi)[/tex]

Тогава

[tex]\frac{1 - a^2}{2a} = \frac{\frac{1}{a} - a}{2} = \frac{cotg\frac{t}{2} - tg\frac{t}{2}}{2} = \frac{cos^2\frac{t}{2} - sin^2\frac{t}{2}}{2{sin} \frac{t}{2}.{cos}\frac{t}{2}} = \frac{cost}{sint} = cotg{t}[/tex]

Аналогично

[tex]\frac{1 + a^2}{2a} = \frac{\frac{1}{a} + a}{2} = \frac{cotg\frac{t}{2} + tg\frac{t}{2}}{2} = \frac{cos^2\frac{t}{2} + sin^2\frac{t}{2}}{2{sin} \frac{t}{2}.{cos}\frac{t}{2}} = \frac{1}{sint}[/tex]

Тогава имаме:

[tex](cotgt)^x + 1 = (\frac{1}{sint})^x[/tex]

[tex](cost)^x + (sint)^x = 1[/tex]

[Xixibg]

И с [tex]a=cotg{\frac{t}{2}}[/tex] става но се получава:

[tex](-cos{t})^x+(sin{t})^x=1[/tex]

Това му е първата грешка.
А другото , което не разбирам е защо трябва [tex]t\in (0;\pi )[/tex],защо не [tex]t\in (0;2\pi )[/tex]

И какво ще се случи при [tex]t=\frac{3\pi }{2}[/tex]?

[trig]

Тъй вярно, [tex]a=\tan\frac{t}{2}[/tex] трябваше да е полагането, за [tex]t\in(-\pi,\pi)-\{0\}[/tex]. И това важи когато търсим x в цели числа. ако търсим в реални, трябва да се гледа първоначалното уравнение за 0<a<1. За а=1 вече е изчистен случая.

[Xixibg]

А за [tex]a=-1[/tex]????????

[trig]

Полагането [tex]a=\tan\frac{t}{2}[/tex] за |t|<п е биекция между [tex]\mathbb{R}[/tex] и интервала (-п, п). Както вече отбелязахме с това полагане, като изключим t=0, защото а≠0, уравнението се преобразува до еквивалентно на него, за всички t от посоченото множество, когато търсим х в цели числа, защото реалната показателна функция е дефинирана само за положителни стойности на основата. За евентуални нецели реални решения трябва или да гледаме изходното уравнение при 0<a<1, или да ограничим t E (0,п/2), където sin и cos са положителни и там да търсим решение за х, последното мисля е излишно. Иначе случаите a=±1 се покриват съответно при t=±п/2.

[ganka simeonova]

А за [tex]a=-1[/tex]????????

Имаш показателна ф-я. Каква трябва да бъде основата и?

[ptj]

А за [tex]a=-1[/tex]????????

Имаш показателна ф-я. Каква трябва да бъде основата и?

Макар и да не е обявено директно в условието, се подразбира че [tex]\frac{a^2-1}{2a }[/tex] и [tex]\frac{a^2+1}{2a}[/tex] са неотрицателни числа. В противен случай степента няма да е дефинирана за всички реални [tex]x[/tex], т.е. тя ще е някое комплексно число.

[ganka simeonova]

Ето го и моето решение.
Ясно е, че всяла пок. ф-я реябва да е пол. число, различно от 1, т.е. [tex]a\in (0; 1)[/tex].
Да разделим двете страни на у-то на
[tex](\frac{1+a^2}{2a} )^x[/tex]. Тогава=> [tex](\frac{1-a^2}{1+a^2} )^x+(\frac{2a}{1+a^2} )^x=1[/tex]

И тъй като [tex](\frac{1+a^2}{2a} )^2+(\frac{2a}{1+a^2} )^2=1=>[/tex] съществува [tex]\alpha \in (0; \frac{\pi }{ 2})[/tex], така че
[tex]sin\alpha =\frac{1+a^2}{2a} ; cos\alpha =\frac{2a}{1+a^2}[/tex]

=>[tex]sin^x\alpha +cos^x\alpha =1[/tex]
[tex]1)x>2[/tex]
Тогава за дадените значения=>[tex]1=sin^x\alpha +cos^x\alpha <sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex]-няма равенство. Аналогично за [tex]x<2=>x=2[/tex]

[mkmarinov]

И с [tex]a=cotg{\frac{t}{2}}[/tex] става но се получава:

[tex](-cos{t})^x+(sin{t})^x=1[/tex]

Откъдето остава само да положим [tex]u=\pi - t[/tex].

[trig]

Има и други стойности на параметъра, при които уравнението има решения.
Ще опитам да обясня още веднъж. Ако сме фиксирали едно реално число [tex]a[/tex] и разглеждаме израз от вида [tex]a^x[/tex], то питаме за кои [tex]x[/tex] този израз има смисъл. Ако а>0, то можем да придадем смисъл на израза, за всяко реално число х. Ако а<0, то на израза [tex]a^x[/tex] можем да припишем реална стойност само ако x е цяло число, ако а=0, то [tex]a^x[/tex] има смисъл само ако х е положително рационално число.

[strangerforever]

Има и други стойности на параметъра, при които уравнението има решения.
Ще опитам да обясня още веднъж. Ако сме фиксирали едно реално число [tex]a[/tex] и разглеждаме израз от вида [tex]a^x[/tex], то питаме за кои [tex]a[/tex] и [tex]x[/tex] този израз има смисъл. Ако а>0, то можем да придадем смисъл на израза, за всяко реално число х. Ако а<0, то на израза [tex]a^x[/tex] можем да припишем реална стойност само ако x е цяло число, ако а=0, то [tex]a^x[/tex] има смисъл само ако х е естествено число.

[tex]0^{\frac{1}{2}}[/tex]