Зимен математически областен турнир

[Consigliere-]

Извинете ,че пускам темата тук
зад. Произведението от броя на ръбовете и броя на стените на една призма е 504. Колко върха има призмата?
зад. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което не надминава x по големина. Стойността на израза [tex][\frac{[\frac{8^{2011}}{3^{2010}}] }{3^{2011}}][/tex] е равна на:
зад.Дадена е функцията [tex]f(x)=x^{2} +ax+1[/tex] ,където [tex]a[/tex] е реален параметър.Да се намерят стойностите на [tex]a[/tex] ,за които за всеки три числа [tex]x,y,z\in [0;1][/tex] ,числата [tex]f(x),f(y),f(z)[/tex] са дължини на страните на някакъв [tex]\Delta[/tex]

[Xixibg]

1. Нека основата е [tex]n >0[/tex] ъгълник.=> имаме [tex]2n[/tex]- основни ръба и [tex]n[/tex]- околни ръба
Стените са [tex]2[/tex] основи и [tex]n[/tex] околни стени.
[tex]=> 3n(n+2)=504 (:3)[/tex]
[tex]=>n^2+2n-168=0[/tex]
[tex]n_1=12 ; n_2=-14\notin DM[/tex]
=> Призмата е дванадесетоъгълна
=> Призмата има [tex]24[/tex] върха

[Consigliere-]

Лесно било ,ама не съм си направил означенията ... Мерси
Някой за другите задачи ?

[Xixibg]

2.[tex]\frac{8^{11}}{3^{21}}<1[/tex]
[tex]=>(\frac{8^{11}}{3^{21}})^{96}<1[/tex]
[tex]\frac{8^{2011}}{3^{2010}}=\frac{3^5.8^{955}.(8^{11})^{96}}{(3^{21})^{96}}<3^5.9^{955}=3^{1915}[/tex]
[tex]=> [\frac{8^{2011}}{3^{2010}}]<3^{1915}[/tex]

[tex]=>\frac{[\frac{8^{2011}}{3^{2010}}]}{3^{2011}}<\frac{3^{1915}}{3^{2010}}=\frac{1}{3^{95}}<0[/tex]

[tex]=>[\frac{[\frac{8^{2011}}{3^{2010}}]}{3^{2011}}]=0[/tex]

[Consigliere-]

Тази 2рата не разбрах кво се прави ...

[Xixibg]

Скобка означава най-голямото цяло число не надминаващо даденото....примерно [tex][3,14]=3[/tex]
Разглеждаме дробта [tex]\frac{a}{b}[/tex].Аз доказвам ,че числителят е по-малък от знаменателя от където следва ,че[tex][\frac{a}{b}]=0[/tex]

[Consigliere-]

ахм ,мерси ;]

[Xixibg]

3.[tex]f(0)=1[/tex]
[tex]f(1)=a+2[/tex]
[tex]f(x),f(y),f(z)[/tex] са страни на триъгълник ,за всяка стойност на [tex]x,y,z\in [0;1][/tex]следователно изпълняват неравенствата в триъгълника.
[tex]=>2f(0)>f(1) ; =>2>a+2 ; =>a<0[/tex]
[tex]=>2f(1)>f(0) ; =>2(a+2)>1 ; =>a>-\frac{3}{2}[/tex]
Най-малка стойност квадратната функция [tex]f(x)=x^2+ax+1[/tex]достига за [tex]x=-\frac{a}{2}[/tex]
[tex]a\in (-\frac{3}{2};0) ; =>x=-\frac{a}{2} \in (0;\frac{3}{4})[/tex]
[tex]=>f_{min}=(-\frac{a}{2})^2+a.(-\frac{a}{2})+1=1-\frac{a^2}{4}=\frac{4-a^2}{4}[/tex]
[tex]2f_{min}>f(0) ; =>2\frac{4-a^2}{4}>1 ; =>8-2a^2>4 ; =>a^2<2 ; =>a\in (-\sqrt{2};\sqrt{2})\cap (-\frac{3}{2};0)[/tex]
[tex]=>a\in {(-\sqrt{2};0)[/tex]
[tex]2f_{min}>f(1) ; =>2\frac{4-a^2}{4}>a+2 ; =>4-a^2>2a+4 ; => a^2+2a<0 ; =>a\in (-2;0)[/tex]
[tex]=>a\in {(-\sqrt{2};0)[/tex]

[zoro]

Чесно казано много искках да разбера как става но неможах да загрея..