Геометрия, 8 задача СУ Тема 2 2011г.

[gredon]

Страните на [tex]\Delta ABC[/tex] са [tex]AB = 10 , BC = 12, AC = 14[/tex]. Точката [tex]M[/tex] лежи на страната [tex]AC[/tex] ,а [tex]N[/tex] на [tex]BC[/tex], като [tex]M, N[/tex] могат да съвпадат с връх на триъгълника [tex]ABC[/tex] и [tex]MN[/tex] разделя [tex]\Delta ABC[/tex] на две равнолицеви фигури. Да се намери най-малката стойност на [tex]MN[/tex].

[gredon]

Предлагам едно интересно решение почти без тригонометрия.
Нека имаме стандартни означения за страните : [tex]AC = b, AB = c, BC = a[/tex]
Нека [tex]CM = \lambda CA, CN = k.CB[/tex].
[tex]S_{ABC} = \frac{absin\gamma }{ 2}, S_{MNC} = \frac{k.\lambda.absin\gamma }{ 2}[/tex]
[tex]S_{MNC} =\frac{1}{ 2} S_{ABC}[/tex], от тук намираме [tex]\lambda . k = \frac{1}{ 2}[/tex]
Сега нега [tex]N'[/tex] е симетричната точка на [tex]N[/tex] относно [tex]C[/tex]. Вижда се, че
[tex]MN'+ MN \ge NN'[/tex], но понеже [tex]MN' > MN[/tex] като извадим двете неравенство получаваме:
[tex]2MN \ge NN' =>
MN \ge CN (*)[/tex].
Аналогично построяваме симетричната на [tex]M[/tex] относно [tex]C[/tex] - [tex]M'[/tex]. За нея имаме:
[tex]M'N + MN \ge MM'[/tex] и [tex]M'N \ge MN[/tex], от тук
[tex]MN \ge CM (**)[/tex]
Сега като умножим (*) и (**) получаваме:
[tex]MN^2 \ge CM.CN[/tex] или
[tex]MN \ge \sqrt{k.\lambda .a.b}[/tex]
[tex]MN \ge \sqrt{\frac{1}{ 2} . 12.14 }[/tex]
[tex]MN \ge 2\sqrt{21} => MN[/tex] е най-малко [tex]2\sqrt{21}[/tex]
Вярно ли е това решение? Вчера го решавах така, защото все още не сме навлезли в тригонометрията, много ще се радвам ако е вярно Мерси предварително. Няма да е лошо някой да направи чертеж