Примерна тема на СУ от тази година

[jokovi4]

http://www.fmi.uni-sofia.bg/priem/prime ... a%20M2.pdf

Касае ме решението на 6 задача. Утре пътувам за София и ще се надявам някой да я реши до сутринта. Благодаря.

[jokovi4]

Мисля, че това е решението. Ако някой ми открие грешка, моля да обади в темата.

[Anubis]

Зад. 7. Гледай картинката. На нея означаваме [tex]\angle BAC = \angle BDC = \alpha[/tex] (равни вписани ъгли).

Сега само разглеждаме двата правоъгълни [tex]\triangle AOB[/tex] и [tex]\triangle COD[/tex]. От тях чрез прости зависимости намираме, че

[tex]AO = 7 \cos \alpha, \, BO = 7 \sin \alpha, \, CO = \sin \alpha, \, DO = \cos \alpha[/tex].

Понеже [tex]AC \bot BD[/tex], то [tex]S_{ABCD} = \frac{AC.BD}{2} = \frac{50 \sin \alpha \cos \alpha + 7}{2}[/tex]. Ако [tex]f(\alpha) = \frac{50 \sin \alpha \cos \alpha + 7}{2}[/tex], то ще имаме

екстремум в точката [tex]\alpha_{0}[/tex], за която [tex]f'(\alpha_{0}) = 0[/tex], т. е. [tex]f'(\alpha) = 0 \Leftrightarrow \cos 2\alpha = 0, \, \alpha \in \left ( 0^\circ; \, 90^\circ \right ) \Rightarrow \alpha_{0} = 45^\circ[/tex].

Тогава пак от тия два триъгълника получаваме [tex]BC = 5, \, AD = 5[/tex].

[inveidar]

Някой знае ли защо на зад.8 и сменяха условието два пъти? Първо беше това, после го промениха във вторите скоби вместо -+ на +- и после пак върнаха първото?! Предполагам, че им се е видял лесен първият вариант и са го променили, но не са успели да го решат! Затова са го върнали отново.