трудна задачка

[stsp]

Височината на правилна триъгълна пирамида е 11 см, а основният и ръб е по–малък от околния с 1 см. Да се намери радиуса на вписаната в пирамидата сфера.
Мерси предварително

[Xixibg]

Чак пък трудна.....
[tex]ABCD[/tex] правилна триъгълна пирамида [tex]DH[/tex] височина.
[tex]AB=AC=BC=a ; AD=BD=CD=a+1 ; AH=BH=CH=\frac{a.sqrt{3}}{3}[/tex]
С Питагорова теорема за [tex]\triangle AHD[/tex] намираш [tex]a=12[/tex]
С Херонова формула намираш:[tex]S_{ABD}=S_{ACD}=S_{BCD}=6\sqrt{133}[/tex]
[tex]S_{ABC}=36\sqrt{3}[/tex]
[tex]V_{ABCD}=132\sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{pp}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}+S_{ABC}=18\sqrt{133}+36\sqrt{3}[/tex]
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{3}.S_{pp}.R ; =>R=\frac{3V}{S_{pp}}=\frac{396\sqrt{3}}{18\sqrt{133}+36\sqrt{3}}[/tex]
[tex]R=\frac{22\sqrt{3}(sqrt{133}-2\sqrt{3})}{121}=\frac{2\sqrt{3}(sqrt{133}-2\sqrt{3})}{11}[/tex]