Задача с медиана

[Гост]

Даден е произволен тк ABC. Дължината на BC е a. Прекаранаа е медияната СМ към АВ. Тя е разделена на четири равни части, а през А са прекарани прави, които минават през тези точки на деление. Да се намерят отсечките на които се разделя BC от тези прави.

Моля за помощ задачата не мога да ч реша.

[jokovi4]

Построй през т. М към AB 3 прави, които да са успоредни на правите, които минават през точките на деление. След това използвай за построените прави, че са средни отсечки и търси подобни триъгълници. Така ще можеш да използваш и страната а. Ако не се досещаш какво искам да ти кажа, след 20-30 мин. ще постна решение заедно с чертеж.

[jokovi4]

Ще постна само решението само за 1 част от [tex]AB[/tex], защото другите се намират аналогично, а ме мързи да ги описвам.

Гледай прикачения файл. С молива са допълнително начертаните отсечки. Преди да започнем с решението, от условието знаем, че [tex]CC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}C_{3}=C_{3}M=\frac{1}{4 }CM.[/tex] (1)

Построяваме [tex]MM_{1}||AB[/tex]. И тъй като [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex], следва, че [tex]MM_{1}[/tex] е средна отсечка за [tex]\Delta ABE[/tex]. Следователно [tex]BM_{1}=M_{1}E=\frac{1}{2 }BE[/tex]. Нека означим тези страни с [tex]x[/tex](както е на чертежа).
[tex]\Delta MM_{1}C[/tex] ~ [tex]\Delta C_{3}EC[/tex](общ ъгъл и взаимно успоредни страни - мисля, че това ти е ясно).
От подобието имаме:
[tex]\frac{CM_{1}}{CE }=\frac{CM}{CC_{3}}[/tex] (2)
От (1) и (2) следва, че [tex]\frac{CM_{1}}{CE } = \frac{4}{3 }[/tex]
Отделно от означенията имаме [tex]CM_{1} = a - x[/tex] и [tex]CE = a - 2x.[/tex]
Връщаме се в пропорцията:
[tex]\frac{a-x}{a-2x }=\frac{4}{3 }[/tex]
[tex]3a-3x=4a-8x[/tex]
[tex]5x=a[/tex]
[tex]x=\frac{a}{5 }[/tex]
[tex]BE = 2x = \frac{2a}{5 }[/tex]

[tex]CG[/tex], [tex]GF[/tex], и [tex]FE[/tex] се намират по аналогичен начин и, както казах, не мисля да ги описвам.

[baroveca]

Може и с теорема на Менелай..

[Гост]

От къде стана 4/3 там?

[Евва]

Получих ,че тези отсечки имат дължини [tex]\frac{a}{7}[/tex] , [tex]\frac{4a}{21}[/tex] , [tex]\frac{2a}{5}[/tex] и [tex]\frac{4a}{15}[/tex] .