геометрия за 7-мо класцници

[Xixibg]

Във вътрешността на остроъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] е избрана точка [tex]P[/tex].Точки [tex]L,M[/tex] са петите на перпендикулярите от [tex]P[/tex] съответно към [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex].Точка [tex]D[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] и [tex]DL=DM[/tex] .Да се докаже ,че [tex]\angle PAC=\angle PBC[/tex]

[amsara]

Продължението на MP минава през B от [tex]\angle M =90 ^\circ[/tex] и [tex]MD[/tex]- медиана
Продължението на LP минава през A от [tex]\angle L =90 ^\circ[/tex] и [tex]LD[/tex]- медиана (P излиза ортоцентър)
[tex]=>AD=MD=LD=BD=x ; \Delta ADL[/tex] -равнобедрен, [tex]\angle LAD = \angle ALD =\alpha[/tex]
[tex]\Delta BDM[/tex] - равнобедрен =>[tex]\angle DBM = \angle DMB = \beta[/tex]
[tex]\Delta ADM -[/tex]равнобедрен =>[tex]\angle DAM = \angle AMD = 90-\beta; \angle PAC = 90-\beta -\alpha[/tex]
[tex]\angle PAC = 90-(\alpha +\beta )[/tex]
[tex]\Delta BDL-[/tex]равнобедрен =>[tex]\angle DLB = \angle DBL = 90- \alpha ; \angle PBC = 90 -\alpha -\beta[/tex]
[tex]\angle PBC = 90-(\alpha +\beta )[/tex] =>[tex]\angle PAC = \angle PBC[/tex]

[Xixibg]

Продължението на MP минава през B от [tex]\angle M =90 ^\circ[/tex] и [tex]MD[/tex]- медиана
Продължението на LP минава през A от [tex]\angle L =90 ^\circ[/tex] и [tex]LD[/tex]- медиана (P излиза ортоцентър)
.................................................

Хубав опит , но това е частен случай.Не е задължително Р да е ортоцентър.

[ganka simeonova]

Хихи, задръж топката с решението. Сега я видях и почвам да я мисля. Яка задача изглежда

[Гост]

Нощес явно съм спала, та да разгледам само частен случай. Но сега успях да докажа равенството на ъглите в общия случай. Отивам да го начертая и след малко ще го пусна.

[amsara]

ednakvost.png (9.19 KiB) Прегледано 712 пъти

1. Спускам медиани към хипотенузите на AQM и BQL
2. Доказвам успоредник NDPQ
3. Доказвам еднаквост по трети признак на двата жълти триъгълника
4. Доказвам с разлика на ъгли, че [tex]\angle MNQ= \angle LPQ=\alpha[/tex]
5.[tex]\angle MAN = \angle AMN = \angle PBL = \angle PLB = \frac{\alpha }{ 2}[/tex]


По невнимание на чертежа вместо Р съм сложила Q за избрана във вътрешността на триъгълника точка, но това не променя идеята.

[Xixibg]

Браво Сара

Тази задача е давана на състезанието по математика "Атанас Радев" в темата за 11 клас през 1990г.
Както забелязвате решението е достъпно за всеки 7-мо класник с малко по разчупено мислене.Още веднъж поздравление за решението.

[ganka simeonova]

Сара, браво и от мен:) Аз я направих малко по-тежко, като построих върху правата АВ от двата края на Д отсечки равни на медианите и докарах още два правоъгълни триъгълника. Но, твоето решение е много елегантно.