задача от пробен тест

[Гост]

Лицето на тр.АВС е S, АМ = 1/3.АС и АN = 4/5.АВ . Лицето на четириьгълника MNBC e ?

[Xixibg]

Задачата има 4 случая.
1-ви случай.Точките [tex]M,N[/tex] са вътрешни за отсечките [tex]AC,AB[/tex]
[tex]S_{ABM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{3}S[/tex]
[tex]S_{ANM}=\frac{4}{5}S_{ABM}=\frac{4}{5}.\frac{1}{3}S=\frac{4}{15}S[/tex]
[tex]S_{NBCM}=S_{ABC}-S_{ANM}=S-\frac{4}{15}S=\frac{11}{15}S[/tex]
2-ри случай.Точката [tex]M[/tex] е вътрешна за отсечката [tex]AC[/tex], а точката [tex]N[/tex] лежи на продължението на [tex]AB[/tex]
[tex]S_{NBC}=\frac{4}{5}S_{ABC}+S_{ABC}=\frac{9}{5}S[/tex]
[tex]S_{NAM}=\frac{1}{3}S_{ANC}[/tex]
[tex]S_{AMB}=\frac{1}{3}S_{ABC}[/tex]
[tex]=>S_{NMB}=S_{NAM}+S_{AMB}=\frac{1}{3}(S_{ANC}+S_{ABC})=\frac{1}{3}S_{NBC}=\frac{1}{3}.\frac{9}{5}S=\frac{3}{5}S[/tex]
[tex]S_{NBCM}=S_{NBC}-S_{BNM}=\frac{9}{5}S-\frac{3}{5}S=\frac{6}{5}S[/tex]
3-ти случай.Точката [tex]N[/tex] е вътрешна за отсечката [tex]AB[/tex], а точката [tex]M[/tex] лежи на продължението на [tex]AC[/tex]
[tex]S_{MBC}=\frac{1}{3}S_{ABC}+S_{ABC}=\frac{4}{3}S[/tex]
[tex]S_{NBM}=\frac{1}{5}S_{ABM}[/tex]
[tex]S_{NBC}=\frac{1}{5}S_{ABC}[/tex]
[tex]S_{NBCM}=S_{NBC}+S_{BNM}=\frac{1}{5}(S_{ABM}+S_{ABC})=\frac{1}{5}.S_{MBC}=\frac{1}{5}.\frac{4}{3}S=\frac{4}{15}S[/tex]
4-ти случай.Точките [tex]M,N[/tex] са външни за отсечките [tex]AC,AB[/tex]( лежат на продълженията им)
[tex]S_{NBC}=\frac{4}{5}S_{ABC}+S_{ABC}=\frac{9}{5}S[/tex]
[tex]S_{NBC}=\frac{3}{4}S_{MBCN}[/tex]
[tex]=>S_{MBCN} =\frac{4}{3}S_{NBC}=\frac{4}{3}.\frac{9}{5}S=\frac{12}{5}S[/tex]