преобразуване на изрази

[Xixibg]

Дадени са [tex]x,y,z > 0[/tex]

Ако [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}[/tex]

Да се пресметне стойността на :[tex]A=\frac{x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)}{x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)}[/tex]


Задача за отличен

[Гост]

Решима ли е задачата? След преобразуването намираме, че ни е дадено [tex]x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1[/tex]. Търсеният израз от своя страна е еквивалентен на [tex]x+y+z[/tex].

[Xixibg]

Всъщност така не е еднозначно определена.Изпуснал съм [tex]A\in Z (A-[/tex] цяло)

[grav]

A=2

[Xixibg]

A=2

Не е толкова

[grav]

От условието и това че А се цяло следва, че А е или 1 или 2. За 1 изглежда, че не върви (но ме мързи да го напиша и сигурно греша), ако не е 1 значи е 2.

[Гост]

Интересно ми е от къде е задачката и как се решава в частта с теория на числата.

[grav]

A=2

Не е толкова

А ще кажеш ли колко е?

[grav]

Xixibg, хайде кажи седмокласното решение, до кога да те чакаме?

[Xixibg]

[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=\frac{1}{xyz}<=>(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2=2 ; (x,y,z \ne 0)[/tex]

[tex]x+y=a ; x+z=b ; y+z=c ; =>x+y+z=\frac{a+b+c}{2}[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=2 ; =>a^2+b^2+c^2-a-b-c+\frac{3}{4}+a+b+c=2+\frac{3}{4}[/tex]

[tex](a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2+a+b+c=\frac{11}{4}[/tex]

[tex]=>a+b+c\le \frac{11}{4}[/tex]

[tex]=>x+y+z=\frac{a+b+c}{2} \le \frac{11}{8}[/tex]

[grav]

Не си написал всичко до край, предполагам, че смяташ, че е очевидно. Но ако беше очевидно на мен, нямаше да питам.

След като има условие израза да е цяло число, и от полученото неравенство, следва, че [tex]x+y+z=1[/tex]. Но да проверим дали това е възможно. От тук може да изразим [tex]x+y=1-z[/tex], по подобен начин и другите две възможности. Заместваме в
[tex](x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=2,[/tex]
получаваме
[tex](1-z)^2+(1-y)^2+(1-x)^2=2.[/tex]
От където
[tex]3-2(x+y+z)+x^2+y^2+z^2=2[/tex]
и накрая
[tex]x^2+y^2+z^2=1.[/tex]
Връщаме се към намерената стойност за израза и повдигаме на квадрат, получава се
[tex](x+y+z)^2=1^2[/tex]
от където
[tex]x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1[/tex]
и следователно
[tex]2xy+2xz+2yz=0[/tex]
А числата са по условие положителни!

Та да попитам за пореден път, какво е решението?