Да се докаже,че 2y^2+2y се дели на 4

[vessy234]

Извинете можете ли да ми кажете как да докажа,че 2y^2+2y се дели на 4 винаги ако y е цяло число.Разбирам го,но не мога да го докажа.Благодаря предварително!

[inveidar]

[tex]2y^2+2y =2y(y+1)[/tex]. Имаш две последователни цели числа y и y+1. Тъй като в редицата на целите числа се редуват четно с нечетно число, то от тези две числа едното със сигурност е четно, т.е дели се на 2. Това означава, че [tex]y(y+1)=2k[/tex], където к е цяло число. Тогава [tex]2y^2+2y =2y(y+1)=2.2k=4k[/tex]. Последното по определение показва, че даденият израз се дели на 4.

[vessy234]

Благодаря много!Но ако има например:(a^2+3a+1)^2-1 да докажем,че се дели на 24 при а цяло число

[inveidar]

[tex](a^2+3a+1)^2-1=(a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+3)(a^2+3a+2)=a(a+3)(a^2+2a+a+2)=[/tex]
[tex]=a(a+3)(a(a+2)+a+2)=a(a+3)(a+2)(a+1)[/tex]. Това са четири последователни цели числа.
От четири последователни числа поне едно се дели на 3 и поне едно - на 4. Тъй като 3 и 4 са взаимнопрости, то произведението се дели на 12. Да но от четири последователни числа има две четни. Едното от тях се дели на 4, а другото - на 2. Така произведението се дели на 2.12=24.