(a^2+3a+1)^2-1 да докажем,че се дели на 24 при а цяло число

[vessy234]

Благодаря много!Но този пример ме затруднява:(a^2+3a+1)^2-1 да докажем,че се дели на 24 при а цяло число.

[monika_at]

Ползваме формулата за разлика от квадрати. Тогава:

[tex](a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+3)[a^2+a+2a+2]=a(a+3)[a(a+1)+2(a+1)]=[/tex]

[tex]=a(a+3)(a+1)(a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3)[/tex]

Полученото е произведение на четири цели последователни числа. Значи има две четни числа=>цялото се дели на 4.
В произведението има произведение на три последователни цели числа, което се дели на 6. Тогава всичко се дели на 4.6=24

[inveidar]

[tex](a^2+3a+1)^2-1=(a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+3)(a^2+3a+2)=a(a+3)(a^2+2a+a+2)=[/tex]
[tex]=a(a+3)(a(a+2)+a+2)=a(a+3)(a+2)(a+1)[/tex]. Това са четири последователни цели числа.
От четири последователни числа поне едно се дели на 3 и поне едно - на 4. Тъй като 3 и 4 са взаимнопрости, то произведението се дели на 12. Да но от четири последователни числа има две четни. Едното от тях, дето се дели на 4, вече сме го разгледали, тогава другото се дели на 2. Така произведението се дели на 2.12=24.

[inveidar]

Ползваме формулата за разлика от квадрати. Тогава:

[tex](a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+3)[a^2+a+2a+2]=a(a+3)[a(a+1)+2(a+1)]=[/tex]

[tex]=a(a+3)(a+1)(a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3)[/tex]

Полученото е произведение на четири цели последователни числа. Значи има две четни числа=>цялото се дели на 4.
В произведението има произведение на три последователни цели числа, което се дели на 6. Тогава всичко се дели на 4.6=24

Не ми харесва обяснението. Това, че се дели на 4 и на 6 не означава, че се дели на 24, защото 4 и 6 не са взаимнопрости! Означава, че се дели на 12. Виж по-горното обяснение.

[monika_at]

Прави си. Благодаря, за забележката.