Математика - учебна тетрадка 2 за 7 клас на архимед

[spirit111]

Дадено:
триъгълник АВС (ъгъл С=90 градуса)
СD - височина
АL - ъглополовяща на ъгъл ВАС
СN - ъглополовяща на ъгъл ВСD
АL х СN = О
Да се докаже:
а) АL е перпендикулярна на СN
б) СО=ON

[Knowledge Greedy]

1. Сборът на ъглите във всеки триъгълник е [tex]180^\circ.[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ABC[/tex]. Ъглите [tex]\angle BAC[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex] имат сбор [tex]90^\circ[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta BCD[/tex]. Ъглите[tex]\angle BCD[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex] имат сбор [tex]90^\circ[/tex].
Следователно [tex]\angle BCD = \angle BAC[/tex]. Следователно и техните половинки са равни [tex]\frac{1}{ 2} \angle BCD = \frac{1}{ 2}\angle BAC[/tex].
Но това са ъглите [tex]\angle DAP[/tex] и [tex]\angle OCP[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Ъглите [tex]\angle APD[/tex] и [tex]\angle CPO[/tex] са връхни, следователно са равни [tex](\ast \ast[/tex])
Разглеждаме триъгълниците [tex]\Delta APD[/tex] и [tex]\Delta CPO[/tex]. От твърденията [tex](\ast)[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex] следва, че са равни и ъглите [tex]\angle ADP[/tex] и [tex]\angle COP[/tex] .
Но по условие [tex]CD[/tex] е височина, [tex]\angle ADP=90^\circ[/tex] , следователно и [tex]\angle COP=90^\circ[/tex] , т. е.[tex]AO\bot CO[/tex] .
И тъй като [tex]O[/tex] е точка от [tex]AL[/tex] и от [tex]CN[/tex], то[tex]AL\bot CN[/tex] - което трябваше да докажем.

Височина ъглополовяща медиана.PNG (7.8 KiB) Прегледано 605 пъти

2. Разглеждаме [tex]\Delta NCA[/tex]. Той има за ъглополовяща [tex]AO[/tex] (защото е част от ъглополовящата [tex]AL[/tex] по условие ) и височина [tex]AO[/tex] (според доказаното в подзадача 1). Това означава, че този триъгълник е равнобедрен. И същата тази отсечка [tex]AO[/tex] играе ролята на медиана. Следователно [tex]CO=ON.[/tex].