математика - учебна тетрадка 2 за 7 клас на архимед

[spirit111]

Диагоналите на правоъгълника АВСD се пресичат в точка О. Построени са точките М и Р са съответно от отсечките АВ и ОВ и ОМ=ОР. Докажете, че ъгъл АОМ=2х ъгъл ВМР.

[spirit111]

Разстоянията от пресечната точка на диагоналите на правоъгълника АВСD до страните му са 3см и 5см. Намерете периметъра и лицето на правоъгълника.

[Евва]

1 зад. Означаваме [tex]\angle[/tex]ОМР=[tex]\angle[/tex]МРО=[tex]\varphi[/tex] ,[tex]\angle[/tex]АОМ =[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]ВМР=[tex]\beta[/tex] .
Докажете ,че [tex]\alpha[/tex]=2[tex]\beta[/tex] .

ОМ=ОР т.е. [tex]\triangle[/tex]МРО е равнобедрен [tex]\angle[/tex]МОР=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex] ,тогава [tex]\angle[/tex]АОВ=[tex]\alpha[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]АМО и [tex]\angle[/tex]ВМО са съседни
[tex]\angle[/tex]АМО + ([tex]\angle[/tex]ВМР+[tex]\angle[/tex]ОМР) =180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]АМО=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]-[tex]\varphi[/tex]

([tex]\triangle[/tex]АМО) [tex]\angle[/tex]ОАМ=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]- (180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]-[tex]\varphi[/tex])
[tex]\angle[/tex]ОАМ=[tex]\angle[/tex]ОАВ=[tex]\beta + \varphi - \alpha[/tex] (2)

ABCD -правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle АВО= \angle ОАВ[/tex]=[tex]\beta+ \varphi - \alpha[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]АВО -равноб.) 2([tex]\beta+ \varphi - \alpha[/tex]) +([tex]\alpha[/tex]+180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex]) =180[tex]^\circ[/tex]
2[tex]\beta[/tex]+2[tex]\varphi[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]-2[tex]\varphi[/tex]=0
[tex]\alpha=2 \beta[/tex]