Квадрат с вписан равностранен триъгълник...

[sarnela]

Здравейте, ще бъдем благодарни на помощ

Ударихме на камък с периметъра на равностранния триъгълник (не обръщайте внимание на числото 24, написано с молив):

DSC_0437.JPG (1.81 MiB) Прегледано 1263 пъти

[math10.com]

[tex]\triangle ABM,\triangle ADN[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]\Right \angle AMB=\angle AND=75^\circ ; \angle BAM=\angle DAN=15^\circ ;AM=AN[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Right \angle MAN=60^\circ \Right \triangle AMN[/tex] е равностранен

Сега използваме една основна задача :"Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник с ъгъл [tex]75^\circ[/tex] е една четвърт от хипотенузата".Ако не знаете как ето доказателство:
Нека [tex]P[/tex] е среда на [tex]AN \Right AP=PD=PN[/tex] медиана към хипотенуза в правоъгълен триъгълник.
[tex]\Right \triangle APD ,\triangle NPD[/tex] са равнобедрени
[tex]\Right \angle PND=\angle PDN=75^\circ ; \Right \angle NPD=30^\circ ; \Right DH=\frac{1}{2}PD[/tex] катет срещу ъгъл [tex]30^\circ \Right DH=\frac{1}{4}AN=2 \Right AN=4.2=8[/tex]
[tex]\Right P_{AMN}=3.8=24[/tex]

ЗА лицето на [tex]\triangle CMN[/tex] първо докажете че е равнобедрен правоъгълен [tex]\angle CMN=\angle CNM=180^\circ -75^\circ -60^\circ =45^\circ[/tex] след това спускаме височина към хипотенузата която е и медиана и като такава е половината от хипотенузата.[tex]\Right S_{CMN}=8.4.\frac{1}{2}=16[/tex]

[Knowledge Greedy]

Отговорът ви на б) е правилен - периметърът наистина е 24.

а) Тъй като
[tex]1. AB=AD[/tex](квадрат по условие)
[tex]2. BM= DN[/tex](построено по условие)
[tex]3. \angle ABM=90^\circ =\angle ADN[/tex] (по условие)
то по първи признак [tex]\Delta ABM \simeq \Delta ADN[/tex]
Оттук следва, че [tex]\angle AND=\angle AMB=75^\circ[/tex] и получаваме, че третият ъгъл в [tex]\Delta ADN[/tex]
[tex]\angle DAN=15^\circ[/tex].

Неделя Вечер 18 май 2014.PNG (5.12 KiB) Прегледано 1251 пъти

б) От правия ъгъл [tex]\angle BAD[/tex] като извадим два пъти по [tex]15^\circ[/tex] и остават за ъгъл [tex]\angle MAN=60^\circ[/tex].
Тогава [tex]\Delta AMN[/tex] излиза, че е равнобедрен, с ъгъл [tex]60^\circ[/tex], значи равностранен и периметърът му ще е [tex]3.AN[/tex].
Нека т. [tex]P[/tex] e средата на [tex]AN[/tex] .
В правоъгълния [tex]\Delta AND[/tex] медианата [tex]DP[/tex] има свойството да е [tex]\frac{1}{ 2}[/tex] част от хипотенузата. Ето защо [tex]\Delta ADP[/tex] е равнобедрен и поради [tex]\angle DAN=15^\circ[/tex] (от подусловие а)) , то [tex]\angle APD=150^\circ[/tex].
Съседният на този ъгъл е [tex]\angle DPH=30^\circ[/tex] и от любимия на учениците правоъгълен [tex]\Delta DPH[/tex] правим извод, че [tex]DP=2.DH[/tex].
Значи [tex]DP=4[/tex], а [tex]AN=2DP=8[/tex].
[tex]\Rightarrow P_{\Delta AMN}=24.[/tex]

в) Да построим диагонала [tex]AC[/tex]и означим с [tex]Q[/tex] пресечната му точка с [tex]MN[/tex].
Понеже [tex]CM=CB-BM=CD-DN=CN[/tex], то триъгълникът [tex]MNC[/tex] е равнобедрен правоъгълен. Частта [tex]CQ[/tex] от диагонала на квадрата, се оказва освен ъглополовяща, а също и височина на този триъгълник , при основа [tex]MN=8[/tex]. (Последното - от подусловие б) - [tex]\Delta AMN[/tex] е равностранен)
Но височината му е и медиана към хипотенузата, сл. [tex]CQ=4.[/tex]
Така [tex]S_{\Delta MNC}=\frac{1}{2 }.MN.CQ=\frac{1}{2 }.8.4=16[/tex]

[MENKA]

Решението

[kmitov]

Менке, задачата е за 7 клас. Там не се учи тригонометрия. На всичкото отгоре колегите са дали 2 добре направени решения с материала за 7 клас, а са и хубаво написани. Защо ти трябваше да лепиш тази драсканица тука?