Задача от изпит за 7 клас НПМГ-2004Г.

[babila]

Моля за решение на задачата и предварително Ви благодаря!

Жоро не записал номера на мобилния телефон на приятелката си и забравил последните шест цифри.Той си спомнил,че те образуват шестцифрено число „x“ с различни цифри,последните три от които,образуват трицифрено число y , чийто квадрат е равен на x.Как Жоро е възстановил момера на приятелката си?

[Knowledge Greedy]

Числото [tex]x[/tex] има вида [tex]1000a+y[/tex] и понеже по условие [tex]x=y^2[/tex], то
[tex]1000a=y^2-y[/tex].
От представянето
[tex]y(y-1)=2^35^3a[/tex] и от това че [tex]y-1[/tex] и [tex]y[/tex] са последователни естествени числа - значи взаимно прости, следват две възможности.
[tex]I[/tex] случай.
Числото [tex]y[/tex] няма прост делител [tex]5[/tex], значи е от вида [tex]y=8k[/tex]
[tex]\left|\begin{matrix}
y=8k\\
y-1=125m
\end{matrix}\right.[/tex]
Решаваме диофантовото уравнение [tex]8k =125m+1[/tex] и получаваме, че [tex]y=1000n+126[/tex] за произволно естествено [tex]n[/tex]. Но за [tex]y[/tex] решение няма, т.к. е най-малко четирицифрено и не удовлетворява условието.

[tex]II[/tex] случай.
Числото [tex]y[/tex] няма прост делител [tex]2[/tex], значи е от вида [tex]y=125k[/tex]
[tex]\left|\begin{matrix}
y=125k\\
y-1=8m
\end{matrix}\right.[/tex]
Решаваме уравнението [tex]125k =8m+1[/tex] отделяйки цяла част на всеки етап.
[tex]m=15k+\frac{5k-1}{8} \Rightarrow[/tex] числото [tex]5k-1[/tex] е естествено, кратно на [tex]8[/tex]. Означаваме го с [tex]8q.[/tex]
[tex]5k-1=8 q\Rightarrow k=q+\frac{3q+1}{5}\Rightarrow[/tex] числото [tex]3q+1[/tex] е естествено, кратно на [tex]5[/tex]. Означаваме го с [tex]5 s.[/tex]
[tex]3q+1=5 s \Leftrightarrow q=s+\frac{2s-1}{3}\Rightarrow[/tex] числото [tex]2s-1[/tex] е естествено, кратно на [tex]3[/tex]. Означаваме го с [tex]3t.[/tex]
[tex]2s-1=3t \Rightarrow s=t+\frac{t+1}{2}\Rightarrow[/tex] числото [tex]t+1[/tex] е естествено, кратно на [tex]2[/tex]. Означаваме го с [tex]2n.[/tex]
[tex]t+1=2n\Leftrightarrow t=2n-1[/tex].

Сега по обратния път [tex]t=2n-1\Rightarrow s=3n-1\Rightarrow q=5n-2 \Rightarrow k=8n-3 \Rightarrow m=125n-47[/tex]
и получаваме, че [tex]y=8m+1=8(125n-47)+1[/tex]
[tex]y=1000n-375[/tex] за някое естествено [tex]n[/tex].
Ясно е, че ако [tex]n>1[/tex], се получава противоречие с условието.
Проверката с [tex]y=625[/tex], получено при [tex]n=1[/tex] показва, че [tex]390625[/tex] е единственото число удовлетворяващо условието на задачата.

[babila]

Хиляди благодарности на Knowledge Greedy от Babila!