Задача от пробен изпит за кандидатстване след 7 клас

[gala]

Задачата от пробния изпит в школа Питагор. НВО 7 клас. Даден е успоредник АВСD ,за който ВС=2АВ,точката Н е петата на височината през върха С, а М е средата на страната АD.Намерете ъгъл DMH ,ако ъгъл АНМ=35 градуса. Някой знае ли решението?

[s.karakoleva]

Нека [tex]\angle BAD =\alpha[/tex]. Да построим права [tex]a[/tex] през [tex]M[/tex], успоредна на [tex]AB[/tex]. Нека [tex]a\cap BC=N, \ a\cap CH=P[/tex].

По условие [tex]M[/tex]-среда на [tex]AD[/tex] и [tex]AD=2 AB \Rightarrow ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове.

Знаем, че в ромба диагоналите са ъглополовящи. Следователно [tex]\angle NMC=\angle CMD=\angle BAN=\angle NAM=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Тъй като [tex]ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове, следователно височините им[tex]PH[/tex] и[tex]CP[/tex] са равни.

[tex]MP \bot CH[/tex] и [tex]P[/tex]- среда на[tex]CH\Rightarrow MP[/tex] - симетрала на [tex]CH\Rightarrow \triangle HCM[/tex]-равнобедрен и [tex]MP[/tex]-ъглополовяща на[tex]\angle HMC\Rightarrow \angle HMP=\angle PMC=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Но [tex]\frac{\alpha}{2}=\angle HMP=\angle AHM=35^\circ[/tex] (кръстни), откъдето [tex]\angle HMD=3\cdot \frac{\alpha}{2}=3\cdot 35^\circ=105^\circ[/tex]

[gala]

Нека [tex]\angle BAD =\alpha[/tex]. Да построим права [tex]a[/tex] през [tex]M[/tex], успоредна на [tex]AB[/tex]. Нека [tex]a\cap BC=N, \ a\cap CH=P[/tex].

По условие [tex]M[/tex]-среда на [tex]AD[/tex] и [tex]AD=2 AB \Rightarrow ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове.

Знаем, че в ромба диагоналите са ъглополовящи. Следователно [tex]\angle NMC=\angle CMD=\angle BAN=\angle NAM=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Тъй като [tex]ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове, следователно височините им[tex]PH[/tex] и[tex]CP[/tex] са равни.

[tex]MP \bot CH[/tex] и [tex]P[/tex]- среда на[tex]CH\Rightarrow MP[/tex] - симетрала на [tex]CH\Rightarrow \triangle HCM[/tex]-равнобедрен и [tex]MP[/tex]-ъглополовяща на[tex]\angle HMC\Rightarrow \angle HMP=\angle PMC=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Но [tex]\frac{\alpha}{2}=\angle HMP=\angle AHM=35^\circ[/tex] (кръстни), откъдето [tex]\angle HMD=3\cdot \frac{\alpha}{2}=3\cdot 35^\circ=105^\circ[/tex]

От щкола Питагор -Бургас се заяждат,че нямало такова понятие еднакви ромбове.Тази задача е тяхна.

[gala]

Нека [tex]\angle BAD =\alpha[/tex]. Да построим права [tex]a[/tex] през [tex]M[/tex], успоредна на [tex]AB[/tex]. Нека [tex]a\cap BC=N, \ a\cap CH=P[/tex].

По условие [tex]M[/tex]-среда на [tex]AD[/tex] и [tex]AD=2 AB \Rightarrow ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове.

Знаем, че в ромба диагоналите са ъглополовящи. Следователно [tex]\angle NMC=\angle CMD=\angle BAN=\angle NAM=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Тъй като [tex]ABNM, MNCD[/tex] са еднакви ромбове, следователно височините им[tex]PH[/tex] и[tex]CP[/tex] са равни.

[tex]MP \bot CH[/tex] и [tex]P[/tex]- среда на[tex]CH\Rightarrow MP[/tex] - симетрала на [tex]CH\Rightarrow \triangle HCM[/tex]-равнобедрен и [tex]MP[/tex]-ъглополовяща на[tex]\angle HMC\Rightarrow \angle HMP=\angle PMC=\frac{\alpha}{2}.[/tex]

Но [tex]\frac{\alpha}{2}=\angle HMP=\angle AHM=35^\circ[/tex] (кръстни), откъдето [tex]\angle HMD=3\cdot \frac{\alpha}{2}=3\cdot 35^\circ=105^\circ[/tex]

От щкола Питагор -Бургас се заяждат,че нямало такова понятие еднакви ромбове.Тази задача е тяхна.

От щколата ми писаха:,, Показаното решение, в съкратен запис е вярно, но отново превишава знанията на 7 клас. "еднакви ромбове" като понятие е некоректно споменато. Съветват ме да използвам равнобедрения трапец АНNM.

[s.karakoleva]

Много „интересен“ подход за обучение в тази школа! Искате да кажете, че им пращате задачи, които някой друг Ви е решил (без дори да ги описвате по-подробно) и след това обучаващите ви пишат с кое са съгласни и с кое не !?

За да има ефект от това, което всички ние тук (помагащите) правим за вас (учениците), трябва да осмислите добре решенията, които ви даваме. Решенията са съкратени, само с основни насоки и ваша грижа е да разпишете решението, да си направите чертеж и най-важното - да асимилирате това, което пишете. Лесно може да се получи равенството на CP и PH и от еднаквите триъгълници ABN и MNC, на които CP и PH са височини.

Задачата е решена коректно. В учебника за 7 клас на издателство „Просвета" на стр.128 темата „Еднаквост“ започва с понятието „Еднакви фигури". Прилагам и снимка. За илюстрация на снимката са изобразени два еднакви ромба. В текста пише: „Съответните елементи (без върховете) са равни“

001.jpg (1002.2 KiB) Прегледано 1174 пъти

[gala]

А какво ще кажете за задачата http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=86&t=17208 правилно ри е решена от ,, ptj,,

[inveidar]

Да. Правилно е решена.

[шери]

Може изобщо да не се споменава за еднакви ромбове.След като се построи права през т.М успоредна на АВ и пресича ВС и СН съответно в точките N и P ,MNCD е ромб(2по2 успоредни страни и равни съседни страни) от където следва ,че ъгъл NMC= ъгъл CMD, а ъгъл NMH= ъгъл AHM=35градуса(кръстни).А сега, продължаваме CM до пресичането й с AB в точка T. Доказваме , че триъгълник TAM и триъгълник MCD са еднакви( по два ъгъла и една страна ) и оттам следва ,че AM=MC,следва , че НМ е медиана в правоъгълен триъгълник THC. От тук следва , че HM=MC и ъгъл MHC=ъгъл MCH=55 град. Следва , че ъгъл HMC=180-2.55=70 град.И тъй ,като ъгъл HMP=35, то ъгъл PMC=ъгъл CMD=35 град. И така ъгъл DMH=3.35=105грдуса.