Помощ със задача от втори модул

от **martin9935** » 14 Ное 2016, 16:55

Здравейте, днес решавах задачи от втори модул и попаднах на тази задача, която ме затрудни. Ако може да ми помогнете ще бъда много благодарен!

На вечеря 13 души изяли 13 пици. Всеки мъж изял по 2 пици, всяка жена - по половин пица, и всяко дете по [tex]\frac{1}{4}[/tex] пица. Намерете броя на жените и на децата, които са били на вечерята.

от **Davids** » 14 Ное 2016, 19:23

Ако означим с [tex]x, y, z[/tex] съответно мъже, жени и деца, то условието придобива вида:
[tex]\begin{array}{|l} x + y + z = 13 \\ 2x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}z = 13 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x + y + z = 13 \\ 8x + 2y + z = 52 \end{array}[/tex]
Това са две уравнения за три неизвестни, логиката ми казва, че няма как да изкараме точен брой жени и деца, а можем да търсим само техния сбор, което обаче също не ми се връзва поради разминаването в коефициентите пред двете променливи [tex]y, z[/tex].
П.П.: Чрез почленно умножаване (умножаваш горното по 8, за да се изравнят коефициентите пред [tex]x[/tex]) и изваждане (на долното от горното, за да се съкратят [tex]x[/tex]-овете) можеш да достигнеш оптимално до вида: [tex]6y + 7z = 52[/tex]
Тук вече може да включиш малко дедукция

Знаеш, че броя хора е цяло число, следователно изследваш за кои цели [tex]y, z[/tex] удовлетворяват това уравнение. Подходът е следният: разглеждаш [tex]y = 1,2,3...8[/tex], при които стойности съответно [tex]6y = 6,12,18...48[/tex] и остава само разликата с 52 (т.е. [tex]7z[/tex]) да е кратна на 7, за да се получи [tex]z[/tex] цяло число. А това се изпълнява само при [tex]y = 4, 7z = 28 \Rightarrow z = 4[/tex]. Следователно имаш 4 жени и 4 деца; за мъжете остава да са 5 на брой. Правим проверка с второто дадено: [tex]2.5 + \frac{1}{2}.4 + \frac{1}{4}.4 = 10 + 2 + 1 = 13[/tex], следователно решението удовлетворява дадено и това е отговор на задачата. Така или иначе, все още смятам, че има нещо сбъркано в условието :lol:

от **Alex98** » 14 Ное 2016, 20:51

Първо ще докажем , че мъжете са поне 5.
Да допуснем противното
Нека мъжете са 3 или по-малко от 3.Тогава те ще изядат 6 или по-малко на брой пици , а дори всички 13 да са жени и деца те могат да изядат най-много 6 пици и половина.По този начин може да се изядат не повече от 12 пици и половина , което е противоречие.
Нека мъжете са 4.Тогава те са изяли 8 пици.Останалите жени и деца са общо 9 и те могат да изядат най-много 4 пици и половина т.е всичките изядени пици ще са не повече от 12 и половина , което отново е противоречие.

Сега ще докажем , че мъжете са не повече от 5.
Отново допускаме противното.
Нека мъжете са 7 или повече.Тогава те ще изядат 14 или повече пици , което е противоречие.
Ако предположим че мъжете са 6 то те изяждат 12 пици.Останалите 7 дори и да са деца , биха изяли поне [tex]\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}[/tex] , с което изядените пици са повече от дадените по условие 13.Отново противоречие на допускането.

Определихме , че единствената възможност е мъжете да са 5.Остава да намерим вариант при който това е изпълнено и с непосредствена проверка определяме точния брой 4 жени и 4 деца ,което дори е ненужно тъй като се пита колко им е общо броя.

П.П. Не мисля ,че това е задача за 7 ми клас от 2 ри модул.По скоро е задача от олимпиада за 6 ти клас.

от **Гост** » 10 Ное 2021, 11:28

Alex98 написа:Първо ще докажем , че мъжете са поне 5.
Да допуснем противното
Нека мъжете са 3 или по-малко от 3.Тогава те ще изядат 6 или по-малко на брой пици , а дори всички 13 да са жени и деца те могат да изядат най-много 6 пици и половина.По този начин може да се изядат не повече от 12 пици и половина , което е противоречие.
Нека мъжете са 4.Тогава те са изяли 8 пици.Останалите жени и деца са общо 9 и те могат да изядат най-много 4 пици и половина т.е всичките изядени пици ще са не повече от 12 и половина , което отново е противоречие.

Сега ще докажем , че мъжете са не повече от 5.
Отново допускаме противното.
Нека мъжете са 7 или повече.Тогава те ще изядат 14 или повече пици , което е противоречие.
Ако предположим че мъжете са 6 то те изяждат 12 пици.Останалите 7 дори и да са деца , биха изяли поне <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mfrac><mn>7</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mstyle></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\displaystyle \frac{7}{4}=1\frac{3}{4}</annotation></semantics></math>47=143 , с което изядените пици са повече от дадените по условие 13.Отново противоречие на допускането.

Определихме , че единствената възможност е мъжете да са 5.Остава да намерим вариант при който това е изпълнено и с непосредствена проверка определяме точния брой 4 жени и 4 деца ,което дори е ненужно тъй като се пита колко им е общо броя.

П.П. Не мисля ,че това е задача за 7 ми клас от 2 ри модул.По скоро е задача от олимпиада за 6 ти клас.

Аз като прочетох задачата разбрах, че се изискват броя на мъжете и на жените поотделно.
Това означава, че 3=[tex]\frac{y}{2}[/tex]+[tex]\frac{z}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 3=[tex]\frac{2y+z}{4}[/tex], като y+z=8. От там обаче не знам как да продължа.

от **Гост** » 26 Яну 2022, 01:56

Същия гост от предишния отговор съм, и разбрах задачата!

Както казах, 3=[tex]\frac{y}{2}[/tex]+[tex]\frac{z}{4} \Rightarrow[/tex]3=[tex]\frac{2y+z}{4} \Rightarrow[/tex] 12=2y+z, но y+z=8 [tex]\Rightarrow[/tex] 12=2(8-z)+z=16-2z+z=16-z

12=16-z [tex]\Rightarrow[/tex] -4=-z [tex]\Rightarrow[/tex] z=4
От y+z=8 и z=4 [tex]\Rightarrow[/tex] y = 8 - 4 = 4

И y(жените) и z(децата) са равни на 4.

Помощ със задача от втори модул

Помощ със задача от втори модул

Re: Помощ със задача от втори модул

Re: Помощ със задача от втори модул

Re: Помощ със задача от втори модул

Re: Помощ със задача от втори модул

Кой е на линия