Геометрия 7 клас- задача НВО

[scola]

Точка М лежи на страната АВ на триъгълника АВС и е такава , че ВМ= 2.АМ.Ако ъгъл АСМ = 15° , ъгъл ВМС =60°.Намерете ъгъл СВМ.

[Alex98]

Нека [tex]N[/tex] е средата на [tex]BM[/tex] и [tex]P\in CM[/tex] е такава ,че [tex]PM=AM[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta PMN[/tex] е равностранен , защото [tex]PM=MN[/tex] по построение и [tex]\angle BMC=60^\circ[/tex] по условие
[tex]\Rightarrow \angle BNP=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex] , като съседни
[tex]\Rightarrow \Delta BNP[/tex] е равнобедрен , защото [tex]PN=BN \Rightarrow \angle NBP=\angle NPB=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ[/tex]
[tex]\Delta ANP\cong \Delta BMP[/tex] по първи признак , защото [tex]AN=2AM=BM ; PN=PM ; \angle ANP=\angle BMP=60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow AP=BP[/tex] , като съответни страни в еднакви триъгълници
[tex]\angle PAM+\angle APM=60^\circ \Rightarrow \angle PAM=\angle APM=30^\circ \Rightarrow \angle PAC=15^\circ \Rightarrow \Delta PAC[/tex] е равнобедрен
[tex]\Rightarrow AP=PC[/tex] ,но [tex]AP=BP \Rightarrow BP=CP \Rightarrow \Delta BPC[/tex] е равнобедрен
[tex]\angle MPB=\angle MPN+\angle NPB=60^\circ+30^\circ=90^\circ \Rightarrow \Rightarrow BPC=180^\circ-90^\circ=90^\circ[/tex] , като съседни
[tex]\Rightarrow \angle PCB=\angle PBC=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ \Rightarrow \angle CBM=\angle CBP+\angle MBP=45^\circ+30^\circ=75^\circ[/tex]

[scola]

Благодаря!