Равнобедрен триъгълник

[ganka simeonova]

Днес решавах две задачи, които ме изкефиха. Ще пусна първо едната.

В триъгълника АВС CF и AD са височини, които се пресичат в точка Н.
Ако CH=HF и AH:HD=3:1, докажете че триъгълник АВС е равнобедрен.

Приятно занимание

[naitsirk]

От условието: [tex]\frac{AD}{DH }=4[/tex] и [tex]\frac{CF}{HF }=2[/tex]. От тези 2 равенства следва, че [tex]AD>AH[/tex] и [tex]CF>CH[/tex], т.е. [tex]H[/tex] е вътрешна и триъгълникът е остроъгълен. Нека [tex]CD=x[/tex]. Тогава [tex]DH=xcotg\beta[/tex] и [tex]AD=xtg\gamma[/tex] => [tex]\frac{AD}{DH }=tg\beta .tg\gamma =4[/tex] (1). Аналогично [tex]\frac{CF}{HF }=tg\alpha .tg\beta =2[/tex] (2). Ще използваме извстното равенство, което не е трудно и да се докаже, а именно, че [tex]tg\alpha +tg\beta +tg\gamma =tg\alpha .tg\beta .tg\gamma[/tex] или [tex]tg\beta (tg\alpha +tg\beta +tg\gamma )=tg\alpha .tg\beta .tg\beta .tg\gamma =8[/tex] => [tex]tg \alpha +tg\gamma =\frac{8}{tg\beta }-tg\beta[/tex]. Събираме (1) и (2) и получаваме [tex]tg\beta (tg\alpha +tg\gamma )=6[/tex] => [tex]tg\beta (\frac{8}{tg\beta }-tg\beta )=6[/tex] => [tex]tg\beta =\sqrt{2}[/tex] от (2) => [tex]tg\alpha =\sqrt{2}[/tex] => [tex]tg\alpha =tg\beta[/tex] и тъй като триъгълникът е остроъгълен => [tex]\alpha =\beta[/tex].

Чакаме следвщата

[ganka simeonova]

От условието: [tex]\frac{AD}{DH }=4[/tex] и [tex]\frac{CF}{HF }=2[/tex]. От тези 2 равенства следва, че [tex]AD>AH[/tex] и [tex]CF>CH[/tex], т.е. [tex]H[/tex] е вътрешна и триъгълникът е остроъгълен. Нека [tex]CD=x[/tex]. Тогава [tex]DH=xcotg\beta[/tex] и [tex]AD=xtg\gamma[/tex] => [tex]\frac{AD}{DH }=tg\beta .tg\gamma =4[/tex] (1). Аналогично [tex]\frac{CF}{HF }=tg\alpha .tg\beta =2[/tex] (2). Ще използваме извстното равенство, което не е трудно и да се докаже, а именно, че [tex]tg\alpha +tg\beta +tg\gamma =tg\alpha .tg\beta .tg\gamma[/tex] или [tex]tg\beta (tg\alpha +tg\beta +tg\gamma )=tg\alpha .tg\beta .tg\beta .tg\gamma =8[/tex] => [tex]tg \alpha +tg\gamma =\frac{8}{tg\beta }-tg\beta[/tex]. Събираме (1) и (2) и получаваме [tex]tg\beta (tg\alpha +tg\gamma )=6[/tex] => [tex]tg\beta (\frac{8}{tg\beta }-tg\beta )=6[/tex] => [tex]tg\beta =\sqrt{2}[/tex] от (2) => [tex]tg\alpha =\sqrt{2}[/tex] => [tex]tg\alpha =tg\beta[/tex] и тъй като триъгълникът е остроъгълен => [tex]\alpha =\beta[/tex].

Кристияне, не ме карай да се смея ЗАдачата е 7- класниците и се решава чисто геометрично

[naitsirk]

Оххх кой да види раздела

[ganka simeonova]

Нищо, нека стои, та да видят какво ги очаква по- нагоре ))

[naitsirk]

Това е пример колко ни се промиват мозъците в горния курс... Общо взето след 10-ти клас задачите, които се решават и начините по които се решават, стават коренно различни...

[martosss]

След 10-ти клас определено става по-лесно, защото връзките, които се използват, дават по-директна зависимост между елементите на триъгълника в случая.

[ganka simeonova]

Това е пример колко ни се промиват мозъците в горния курс... Общо взето след 10-ти клас задачите, които се решават и начините по които се решават, стават коренно различни...

Затова 7-класната геометрия много ме кефи )

[teo9898]

построяваме [tex]FP \bot AD[/tex], [tex]P \in AD[/tex]. [tex]\Delta HPF, \Delta HDC[/tex] са еднакви. значи [tex]HD=x=PH[/tex], [tex]AP=2x[/tex]=>[tex]AP=PD[/tex] => [tex]AF=FD[/tex], понеже [tex]PF[/tex] става симетрала на [tex]AD[/tex]. нека [tex]FT \bot CB[/tex]. четириъгълник [tex]PDTF[/tex] е правоъгълник. [tex]FT=2x[/tex].[tex]FT||AD[/tex]=>[tex]\angle TFB=\angle PAF[/tex]=>[tex]\Delta APF, \Delta FTB[/tex] са еднакви. значи [tex]TB=y=DK[/tex]=>[tex]AF=FD=FB[/tex]=>[tex]AF=FB[/tex]=>[tex]AC=CB=> \triangle ABC[/tex]-равнобедрен

[ganka simeonova]

Много добре, Тео