Правоъгълник

[ganka simeonova]

Диагоналите на правоъгълника ABCD се пресичат в точка О. Точката Q е среда на ВС, а точката N лежи на отсечката OQ.
а) Да се докаже, че [tex]P_{ABO}<P_{ABN}[/tex]
б) Да се докаже, че ако N лежи на ъглополовящата на ъгъл АВС, то N не лежи на ъглополовящата на вгъл ВАС.

[amsara]

Мерси за петъчното забавление!

[martosss]

Е, би трябвало ако т.N съвпада с т.О, край на отсечката OQ, периметрите на двата триъгълника да са равни.
Иначе за доказателството имаме, че <ANO и <BNO са тъпи, понеже са =<AQO+ още нещо, откъдето AO?AN и BO?BN(равенство ако т.О и т.N съвпадат). Освен това АВ е обща страна за двата триъгълника откъдето следва неравенството.
за б) N се превръща в ц. на вп. окръжност. Трябва да се изследва този център и да се провери дали той може да лежи на средната отсечка OQ на триъгълника ABC, което в случая се оказва невъзможно, тъй като AC?BC. С това задачата е решена.

[amsara]

С това задачата е решена.

Ами не съвсем. Задачата е в раздел за седмокласници, така че понятия като средна отсечка , център на вписана окръжност и други са неприложими , а и доста неясни Всъщност за средната отсечка научих от форума тук и нейното свойство да е половинка от отсрещната страна всъщност много лесно се доказва и със знанията на седмокласник за два еднакви трииъгълника в правоъгълника ABCD.Така че аз всъщност използвах едва след като го доказах, че OQ=a/2, където а е страната АВ.После с разни сметки от неравенства в триъгълника уж доказах подусловие а.Ама утре на свежа глава ще се опитам да го опиша.

[ganka simeonova]

Марто, остави децата да решават

[amsara]

Уж я реших, махнах ползването на средната отсечка, макар и доказано.Ама дали е вярно, това вече е съвсем друг въпрос.
d1=d2 диагонали в правоъгълник, т.О ги разполовява
AO=BO=d/2
Pна ABO=a+2d/2=a+d
Нека означим AN=n,BN=m,ON=x,QN=y
тогава РнаАВN=m+n+a
a=a и при двата периметъра, следва да докажем, че m+n>d
От ?OBN имаме, че m > d/2 - x
От ? AON имаме, че n > d/2 - x
Събираме почленно двете неравенства
m+n>d/2 +d/2
m+n>d
m+n+a>d+a
РнаАВN>Pна ABO
Но наистина, ако N съвпада с О не е ли по-правилно да напишем неравенството във вида
РнаАВN?Pна ABO или Pна ABO?РнаАВN

BN е ъглополовяща на ъгъл АВС.Следователно ABN=CBN=90/2=45°
Допускаме, че N принадлежи и на AS -ъглополовящата на BAC
Тогава и BAN=90/2=45°
Тогава ABN е равнобедрен, а това не е вярно или поне е частен случай, в който правоъгълникът е квадрат и O?N
Следователно ?ABN не е равнобедрен и BAN не е 45°
AN не е ъглъполовяща и N не лежи на ъглополовящата на BAС