Ъгъл

[ganka simeonova]

В триъгълника АВС са прекарани ъглополовящата AL и височината CD. Дадено е, че [tex]\angle ALC=45^\circ[/tex]
Да се докаже, че [tex]\angle BDL=45^\circ[/tex]

[amsara]

http://img441.imageshack.us/img441/325/ygyl.jpg
Признавам си без бой, доста се измъчих.Но не се предавам докато не успея.
Нека ъгъл BAL=CAL=?
Тогава AHD=90-? и AHC(съседен)=180-90+?=90+?
90+?(външен)=45+LCH
LCH=90+?-45=45+?
ACD2 -изправен=180° затова D2CL=180-90+2?-45-?=45+?
D1 и D2 са перпендикуляри към AC и CD
?CLD3 еднакъв на ?CLD2 По втори признак
45+?=45+?
90-45-?=90-45-? т.е 45-?=45-?
CL=CL обща страна
Следователно LD2=LD3 (1)
ъгъл D=D1=D3=L=90° тоест DD1LD3 е правоъгълник
AL-ъгълополовяща, следователно LD1=LD2 (2)
От равенства 1 и 2 следва, че LD3=LD1
Тогава правоъгълникът DD1LD3 е квадрат
Неговият диагоналDL e ъглополовяща на D1DD3
BDL=90/2=45°
Сърдечно благодаря за задачата!

[teo9898]

може ли да поясниш къде се намира точка H ,че нещо не можаш да разбера и на чертежа не ми стана много ясно

[amsara]

Тео, кофти се чертае и пише в paint Точка Н е пресечната точка на височината от върха С и на ъглополовящата на върха А.

[ganka simeonova]

Сара, да речем, че е ОК. Едно не ми е ясно. Според чертежа ъгъл АСВ е тъп и е така. Но трябва да се докаже

[amsara]

Да, грешката е моя.. Аз си направих извода наум по чертежите и продължих нататък.
Да предположим трите варианта
?=45 2?=90 Тогава триъгълникът би бил правоъгълен, а това противоречи на условието, тъй като височината CD и катета СА биха съвпадали, но точка D не съвпада с А и ъгъл А не е прав.
?>45 2?>90 ъгъл А е тъп
Тогава обаче сборът от ъглите в ?ADC би надвишавал 180 градуса, което не е вярно.
Тогава остава ?<45
CAL+45<90
Тогава ACL е тъп..

[ganka simeonova]