Задача от тест за НВО 7 кл

[resheva4]

Триъгълникът АВС е остроъгълен с ъгъл ВАС 45 градуса и СД е височина през С към АВ. Точка М е от странаа ВС и лъчът МД е ъглополовяща на ъгъл АМВ. Намерете ъгъл СМД. ( Задачата е задача 19 от тест -4 от сборник с тестове за национално външно оценяване с пием след 7 клас, Издание- Архимед, Четвърто издание 2014 г)

[Knowledge Greedy]

Условието [tex]\angle BAC = 45^\circ[/tex] веднага ни дава [tex]AD=CD[/tex].
За да използваме ъглополовящата [tex]MD[/tex], построяваме точка [tex]O\in AM[/tex] и такава, че [tex]DO=DM[/tex].
Следва еднаквост на триъгълниците [tex]\triangle ADO[/tex] и [tex]\triangle CDM[/tex] (по четвърти признак!), а от този факт - равенство на съответни ъгли, в частност [tex]\angle DAO = \angle DCM[/tex]
Но "пълните" им имена са [tex]\angle BAM = \angle DCB[/tex]
Сега пък триъгълниците [tex]\triangle BAM[/tex] и [tex]\triangle BCD[/tex] имат по два съвпадащи като мярка ъгли:
- [tex]\angle B[/tex] - общ;
- [tex]\angle BAM = \angle BCD[/tex] и следователно и третите им ъгли са равни.
Получихме, че точката [tex]M[/tex] не е случайна, тя е петата на височината през върха [tex]A \,\ ^{\ast}[/tex].
И веднага [tex]\angle CMD = 135^\circ[/tex].
__________
[tex]\,\ ^{\ast}[/tex] Както не е случайна и точката [tex]O[/tex]
Истинското ѝ име е [tex]H[/tex] и осмокласниците ще я наричат ортоцентър.

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle[/tex]A = 45[tex]^\circ[/tex];CD [tex]\bot[/tex] AB, т.М[tex]\in[/tex]BC,такава,че DM е ъглополовяща на[tex]\angle[/tex]AMB; Търсим [tex]\angle[/tex]CMD = ?
CD X AM = т.N; [tex]\triangle[/tex]ADC e равнобедрен,правоъгълен,следователно AD = DC;
MD - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]AMB, построяваме DP[tex]\bot[/tex]AM и DQ[tex]\bot[/tex]MB тогава PD = QD (D е точка лежаща на ъглополовящата)
[tex]\triangle[/tex]ADP [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DQC (по равни катет и хипотенуза - АD = DC и DP = DQ) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]DAP = [tex]\angle[/tex]DCQ = [tex]\alpha[/tex]
Oт [tex]\triangle[/tex]ADN,правоъгълен имаме [tex]\angle[/tex]АND = 90 - [tex]\alpha[/tex]
Но [tex]\angle[/tex]АND = [tex]\angle[/tex]MNC = 90 -[tex]\alpha[/tex] (като връхни) и тогава за [tex]\triangle[/tex]CNM имаме: [tex]\angle[/tex]NCM = [tex]\alpha[/tex] , [tex]\angle[/tex]CNM = 90 - [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CMN = 90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CMN и [tex]\angle[/tex]NMB са съседни [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]NMB = 90[tex]^\circ[/tex]
MD e ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]NMB [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]NMD = [tex]\angle[/tex]QMD = 45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CMD = [tex]\angle[/tex]CMN + [tex]\angle[/tex]NMD = 90[tex]^\circ[/tex] + 45[tex]^\circ[/tex] = 135[tex]^\circ[/tex]

[Knowledge Greedy]

Едно бързо извинение.
Точката О не е ортоцентър. Объркването е заради друг чертеж.