Геометрична задача / НВО 2018 г., 7 клас

[Австралопитек]

Здравейте!
А) не е трудна, но за Б) И В) на матурата не се сетих, за което съжалявам, но каквото станало, станало.

В [tex]\triangle[/tex] ABC отсечката CH е височина и точка H е вътрешна за отсечката AB. Точката M е средата на BC и AH=CH=HM. Точката N е от отсечката HB и е такава, че HN=MN+NB.
А) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex] CAB и [tex]\angle[/tex] ABC.
Б) Намерете отношението HN:BN.
В) Намерете отношението на лицата S [tex]\triangle[/tex] NMH : S [tex]\triangle[/tex] CMH.

Заснемане.PNG (6.5 KiB) Прегледано 1791 пъти

[Австралопитек]

А)
Разгл. [tex]\triangle[/tex] AHC:
1) AH = CH (по условие) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] AHC e равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] HAC = [tex]\angle[/tex] ACH = [tex]\frac{180- 90}{2}[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex].

Разгл. [tex]\triangle[/tex] HBC, правоъгълен:

1) CM = MB (М е среда на BC) [tex]\Rightarrow[/tex] HM - медиана [tex]\Rightarrow[/tex] HM=MC=MB=CH=AH

Разгл. [tex]\triangle[/tex] HMC:
1) HM=CM=CH [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] HMC е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] MHC = [tex]\angle[/tex] HCM = [tex]\angle[/tex] HMC = 60[tex]^\circ[/tex]

Разгл. [tex]\triangle[/tex] HBC:

1) [tex]\angle[/tex] BHC = 90[tex]^\circ[/tex] (защото е съседен на [tex]\angle[/tex] AHC)
2) [tex]\angle[/tex] HCB = 60[tex]^\circ[/tex] (по доказателство [tex]\triangle[/tex] HMC е равностранен)
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] HBC = [tex]\angle[/tex] ABC = 180[tex]^\circ[/tex] - (60[tex]^\circ[/tex] + 90[tex]^\circ[/tex]) = 30[tex]^\circ[/tex].

[ева]

Б) Мисля,че [tex]\triangle[/tex]HNM е правоъгълен.(Не зная как да го докажа. )
Тогава HN:BN=2:1

[Австралопитек]

Б) Мисля,че [tex]\triangle[/tex]HNM е правоъгълен.(Не зная как да го докажа. )
Тогава HN:BN=2:1

Б)
Построяваме т. Q [tex]\in[/tex] HB, такава че MN = QN (хрумна ми, защото са дали HN = MN + NB и исках NB и МN = QN (по построение) да са на една права)
HN = MN + NB, но MN = QN (по построение) [tex]\Rightarrow[/tex] HN = QN + NB (1)
HN = HQ + QN (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] HQ = NB
Разгл. [tex]\triangle[/tex] HQM и [tex]\triangle[/tex] BNM:
1) HQ = NB (по доказателство)
2) [tex]\angle[/tex] BHM + [tex]\angle[/tex] MHC = [tex]\angle[/tex] BHC
[tex]\angle[/tex] BHM + 60[tex]^\circ[/tex] = 90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] BHM = 90 - 60 = 30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] BHM = [tex]\angle[/tex] NBM = 30[tex]^\circ[/tex]
3) HM = MB
[tex]\Rightarrow[/tex] По I пр. [tex]\triangle[/tex] HQM [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex] BNM [tex]\Rightarrow[/tex] MQ = MN
Разгл. [tex]\triangle[/tex] QNM:
1) MQ = MN = QN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] QNM е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] NQM = [tex]\angle[/tex] QMN = [tex]\angle[/tex] QNM = 60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] HQM - външен за [tex]\triangle[/tex] QNM
[tex]\angle[/tex] HQM = [tex]\angle[/tex] QNM + [tex]\angle[/tex] QMN = 60 + 60 = 120[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] MNB - външен за [tex]\triangle[/tex] QNM
[tex]\angle[/tex] MNB = [tex]\angle[/tex] NQM + [tex]\angle[/tex] NMQ = 60 + 60 = 120[tex]^\circ[/tex]
Разгл. [tex]\triangle[/tex] HQM:
[tex]\angle[/tex] QHM = 30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] HQM = 120[tex]^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] HMQ = 180 - (30 + 120) = 180 - 150 = 30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] QHM = [tex]\angle[/tex] HMQ = 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] HQM е равнобедрен, HM основа [tex]\Rightarrow[/tex] HQ = MQ = MN = QN = NB = x
HN = 2.HQ = 2.QN = 2.x
BN = QN = MN = MQ = HQ = x
[tex]\frac{HN}{BN}[/tex] = [tex]\frac{2.x}{x}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex]
В)
Знаем, че всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника:
HM - медиана в [tex]\triangle[/tex] HBC [tex]\Rightarrow[/tex] S [tex]\triangle[/tex] HMC = S [tex]\triangle[/tex] HBM
[tex]\triangle[/tex] HQM, QNM, NBM имат равни лица, защото имат обща височина и равни страни, към които тя е спусната
[tex]\Rightarrow[/tex] S [tex]\triangle[/tex] HMB = 3. S [tex]\triangle[/tex] HQM = 3. S [tex]\triangle[/tex] QNM = 3. S [tex]\triangle[/tex] NBM
S [tex]\triangle[/tex] HMC = S [tex]\triangle[/tex] HMB = 3. S [tex]\triangle[/tex] HQM = 3. S [tex]\triangle[/tex] QNM = 3. S [tex]\triangle[/tex] NBM
S [tex]\triangle[/tex] HNM = 2. S [tex]\triangle[/tex] HQM
[tex]\frac{S △ NMH}{S △ CMH}[/tex] = [tex]\frac{2. S \triangle HQM}{3. S\triangle HQM}[/tex] = [tex]\frac{2}{3}[/tex]

--------------------------------------------
Красива задачка!