Геометрична задача / НВО 2018 г за 7 клас

[Snul]

На чертежа AN и BM са ъглополовящи на DAB и ABC на успоредника ABCD. Ако DM=NM , периметърът на успоредника е 60 cm и BM=12cm, то мярката на BAD е:

[Евва]

Направих допълнителни построения и получих,че трите страни на един тр-к са равни т.е. той е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\angle[/tex]?АD=[tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex]

Първо намери [tex]\angle[/tex]ALB ( т.L е пресечната т. на AN и BM )

[KOPMOPAH]

Геометрична задача НВО 2018 г. за 7 клас.png (6.05 KiB) Прегледано 1355 пъти

Може и така:

Разглеждаме $\triangle AND$. Той е равнобедрен, защото $\measuredangle NAB=\measuredangle AND=\measuredangle NAD$, следователно $DN=DA$. Ако отбележим $DM=MN$ с $x$, значи $DA=2x$.
Сега разглеждаме $\triangle BMC$. Той също е равнобедрен, защото $\measuredangle ABM=\measuredangle MBC=\measuredangle BMC$,
следователно $CM=BC=2x$.
За периметъра получаваме, че е равен на $10x$, откъдето $x=6$, $CM=BC=12$, значи равнобедреният $\triangle BMC$ се оказва равностранен и оттам нататък намираме ъглите.

[Евва]

Уникално
По по-дълъг и сложен начин доказах,че [tex]P_{ABCD }[/tex]=10x (х=DM) [tex]\Rightarrow[/tex] х=6 см.
Решението е абсолютно същото,утре ще пратя моята версия .

[Snul]

Геометрична задача НВО 2018 г. за 7 клас.png

Може и така:

Разглеждаме $\triangle AND$. Той е равнобедрен, защото $\measuredangle NAB=\measuredangle AND=\measuredangle NAD$, следователно $DN=DA$. Ако отбележим $DM=MN$ с $x$, значи $DA=2x$.
Сега разглеждаме $\triangle BMC$. Той също е равнобедрен, защото $\measuredangle ABM=\measuredangle MBC=\measuredangle BMC$,
следователно $CM=BC=2x$.
За периметъра получаваме, че е равен на $10x$, откъдето $x=6$, $CM=BC=12$, значи равнобедреният $\triangle BMC$ се оказва равностранен и оттам нататък намираме ъглите.

Нещо не ми стана много ясно как намираме, че периметъра е 10х? Ясно че BC=MC=2x, но от къде CN=MN за да получим, че DC=3x?

[KOPMOPAH]

Нещо не ми стана много ясно как намираме, че периметъра е 10х? Ясно че BC=MC=2x, но от къде CN=MN за да получим, че DC=3x?

Никъде в решението не се използва, че $CN=MN=x$ (макар че е така и може да се изведе). Използва се, че $CM=BC=2x$, което следва от равнобедрието (равнобедреността ) на $\triangle BMC$. Малките страни на успоредника са по $2x$, а големите - по $3x$ или общо периметърът е $10x$.

[Евва]

Построявам т. [tex]N_{1 }[/tex] лежи на отс.АВ , като N[tex]N_{1 }[/tex]||AD ; успоредникът A[tex]N_{1 }[/tex]ND е ромб ,защото диагоналът AN
е и ъглополовяща .
Построявам т.[tex]М_{1 }[/tex] лежи на отс. A[tex]N_{1 }[/tex] ,като М[tex]M_{1 }[/tex]||BC ; успоредникът [tex]M_{1 }[/tex]BCM e ромб, защото диагоналът ВМ
е и ъглополовяща .

Да означим DM=x [tex]\Rightarrow[/tex] DN=2x (1) знаем BC=AD=DN=2x (2)
CN=
BC=CM (ромб) т.е. 2x=CN+NM [tex]\Rightarrow[/tex] 2x=CN+x [tex]\Rightarrow[/tex] CN=x (3)
От (2) и (3) намираме AB=CD=3x ; AD=BC=2x [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]P_{ABCD }[/tex]=2(3x+2x)
2.5x=60 [tex]\Rightarrow[/tex] x=6 см.