Интересни тъждества(7 клас): ако a+b+c=0 то a^3+b^3+c^3=3abc

[ganka simeonova]

Да се док., че ако [tex]a+b+c=0[/tex], то

1)[tex]a^3+b^3+c^3=3abc[/tex]

2)[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{ 2} .\frac{a^3+b^3+c^3}{3 } =\frac{a^5+b^5+c^5}{ 5}[/tex]

[amsara]

Пускам доказателство на първото подусловие, ама изрично подчертавам, че много ми помогнаха за него, не съм го решила въобще сама.
http://img338.imageshack.us/img338/3776/13062010020.jpg

[Mark]

[tex]a+b+c=0[/tex]
[tex]a^3+b^3+c^3-3c^3-3b^3-3a^3+6abc=0[/tex]
[tex]6abc=2a^3+2b^3+2c^3 =>[/tex]
[tex]3abc=a^3+b^3+c^3[/tex]

[Mark]

[tex]2(a^5+b^5+c^5)[/tex][tex]=10a^3bc+10b^3ac+10c^3ab+12abc(ab+bc+ca)+2a^3(b^2+c^2)+2b^3(a^2+c^2)+2c^3(a^2+b^2)[/tex][tex]=5abc.(a^2+b^2+c^2)[/tex] Откъдето намираме, че
[tex]\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=abc.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/tex] Може, и да съм объркал сметките..