Геометрия

[Гост]

Даден е ABC, С = 50°. Точките М и N са съответно от страните АС и ВС и правите AN и ВМ се пресичат в точка Р - вътрешна за триъгълника, като АРВ = 120°. Ъглополовящите на ъглите CAN и
СВМ се пресичат в точка Q. Намерете AQB

[Евва]

85[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

85[tex]^\circ[/tex]

Може ли решение

[Евва]

Да означим [tex]\angle[/tex]BAP=[tex]\angle[/tex]BAN=[tex]\alpha[/tex] , [tex]\angle[/tex]NAQ=[tex]\angle[/tex]CAQ=[tex]\varphi[/tex] , [tex]\angle[/tex]MBQ=[tex]\angle[/tex]CBQ=[tex]\beta[/tex] .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABP
[tex]\angle[/tex]BAP+[tex]\angle[/tex]ABP+[tex]\angle[/tex]BPA=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]ABP+120[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABP=60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABC
[tex]\angle[/tex]BAC+[tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\angle[/tex]BCA=180[tex]^\circ[/tex]
([tex]\alpha[/tex]+2[tex]\varphi[/tex])+(60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+2[tex]\beta[/tex])+50[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
2[tex]\beta[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex]
[tex]\beta[/tex]=35[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex] (1)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABQ
[tex]\angle[/tex]BAQ+[tex]\angle[/tex]ABQ+[tex]\angle[/tex]AQB=180[tex]^\circ[/tex]
([tex]\alpha[/tex]+[tex]\varphi[/tex])+(60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex])+[tex]\angle[/tex]AQB=180[tex]^\circ[/tex] използваме (1)
[tex]\varphi[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]+35[tex]^\circ[/tex]-[tex]\varphi[/tex]+[tex]\angle[/tex]AQB=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AQB=85[tex]^\circ[/tex]