Задача с триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник ABC.
а) Вътрешният ъгъл при върха В е с 25% по-голям от един от външните ъгли на триъгълника. Ако правите, определени от ъглополовящата на АВС и височината през върха С се пресичат в точка М, намерете мярката на ВМС.
б) Нека AO е ъглополовяща на ВАС (т.ОВС). През върха С е построена права, успоредна на правата АВ, която пресича правата AO в точка D. Ако вътрешният ъгъл при върха А на ABC е 5 пъти по-малък от DCA и ODB : OBD: DOB = 3 : 2 : 5, намерете мярката на CDB

[S.B.]

Даден е триъгълник ABC.
а) Вътрешният ъгъл при върха В е с 25% по-голям от един от външните ъгли на триъгълника. Ако правите, определени от ъглополовящата на ЪГЪЛ АВС и височината през върха С се пресичат в точка М, намерете мярката на ЪГЪЛ ВМС.

Без заглавие - 2021-02-19T214800.499.png (210.59 KiB) Прегледано 876 пъти

ТЕОРЕМА : Всеки външен ъгъл е по-голям от всеки вътрешен , несъседен нему ъгъл

Следователно става въпрос за външния ъгъл при върха $B$ ,който е съседен ъгъл на [tex]\angle B[/tex],тъй като само той от външните ъгли може да бъде по- малък от $\angle B$
Нека $\angle B = \beta$ , съседният му ъгъл да бъде $\beta' $
От условието $\angle B $ е с $25\%$ по-голям от съседния си ъгъл $\beta' $
$\Rightarrow\beta = 125\%.\beta' \Leftrightarrow \beta = \frac{5}{4}.\beta'$
$\beta + \beta' = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{5}{4}\beta' + \beta' = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{9}{4}\beta' = 180^\circ \Rightarrow \beta' = 80^\circ, \beta = 100^\circ$
От $\triangle BHM \rightarrow \angle MBH = \angle LBA = \frac{\beta}{2} = 50^\circ,\angle MBH + \angle BMH = 90^\circ \Rightarrow \angle BMH = \angle BMC = 40^\circ$

[S.B.]

Даден е триъгълник ABC.

б) Нека AO е ъглополовяща на ВАС (т.ОВС). През върха С е построена права, успоредна на правата АВ, която пресича правата AO в точка D. Ако вътрешният ъгъл при върха А на ABC е 5 пъти по-малък от DCA и ODB : OBD: DOB = 3 : 2 : 5, намерете мярката на CDB

Без заглавие - 2021-02-20T092515.448.png (280.53 KiB) Прегледано 860 пъти

Нека [tex]\angle BAC = \alpha , AO[/tex] е ъглополовяща $\Rightarrow \angle CAO = \angle OAB = \frac{\alpha}{2}$
$(AB || CD) X AD \Rightarrow \angle DAB = \angle ADC = \frac{\alpha}{2}$

За $\triangle ADC \rightarrow \angle CAD = \angle ADC = \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle ACD = 180^\circ - \alpha$
От $\angle CAB = \frac{1}{5}\angle ACD \Leftrightarrow \alpha = \frac{180 - \alpha}{5} \Rightarrow \alpha = 30^\circ ,\frac{\alpha}{2} = 15^\circ$

За $\triangle OBD \rightarrow \angle ODB : \angle OBD : \angle DOB = 3 : 2 : 5 \Rightarrow 3x + 2x + 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 18^\circ$
$\angle DOB = 90^\circ , \angle OBD = 36^\circ , \angle ODB = 54^\circ$

$\angle CDB = \angle CDO + \angle ODB \Leftrightarrow \angle CDB = 15^\circ + 54^\circ \Rightarrow \angle CDB = 69^\circ$