Задача с триъгълник (с решение моля)

[Гост]

В правоъгълника ABCD AB > AD. Върху страната CD е взета точка P така, че AP = CD. Върху отсечката AP е взета точка Q така, че AQ = DP. Ако PBQ = 15 и периметърът на ABCD е 60 см, намерете лицето на този правоъгълник в квадратни сантиметри.

[mail_dinko]

Правим си чертеж
[tex]AP=CD=AB =a \Rightarrow \triangle PAB - равнобедрен[/tex]
[tex]Означаваме \angle PAB = \alpha \Rightarrow \angle APB = \angle ABP = 90 ^\circ - \frac {\alpha}{2}[/tex]
Намираме [tex]\angle ABQ =90 ^\circ - \frac {\alpha}{2} - 15 ^\circ =75 ^\circ - \frac {\alpha}{2} \Rightarrow \angle AQB = 75 ^\circ + \frac {\alpha}{2}[/tex]
Еднакви триъгълници по първи признак
[tex]\triangle PQB \cong \triangle PCB[/tex]
[tex]PB=PB - обща[/tex]
[tex]PQ=PC =x[/tex] - по условие
[tex](DC || AB ) \cap BP \Rightarrow \angle CPB = \angle PBA = 90 ^\circ - \frac {\alpha}{2}[/tex] - кръстни ъгли
От еднаквостта следва и [tex]\angle PCB = \angle PQB = 90 ^\circ \rightarrow \angle AQB = 90 ^\circ[/tex]
В[tex]\triangle PCB : \angle PCB = 90 ^\circ \cup \angle CPB = 90 ^\circ - \frac {\alpha}{2} \rightarrow \angle PBC = 15 ^\circ = \frac {\alpha}{2} \Rightarrow \alpha = 30 ^\circ[/tex]
Имаме случай на катет срещу ъгъл 30 градуса.
Така намираме [tex]QB = b = \frac12 a[/tex]
По условие [tex]P = 60 = 2 (a+b)[/tex]
[tex]a+ b = 30[/tex]
[tex]a+ \frac12 a = 30 \Leftrightarrow \frac32 a = 30 \rightarrow a=20 \rightarrow b=10[/tex]
[tex]S=ab = 200 cm ^2[/tex]

[Knowledge Greedy]

Навярно и чертеж ще искате? А задачата си заслужава. Явно много добър учител я е препоръчал.

От третото условие "Върху страната CD е взета точка P." и от четвъртото условие "AP = CD" следва, че AP = AB - благодарение на първото условие "ABCD - правоъгълник".
(Значи [tex]\triangle BPA[/tex] е равнобедрен, с връх A и основа BP.)

От второто условие "AB>AD", от четвъртото условие "AP = CD", петото и шесто условие "AQ = DP" следва, че CD-DP=AP-AQ - което е все едно CP=PQ .
(Значи [tex]\triangle QCP[/tex] е равнобедрен, с връх P и основа QP.)

Благодарение на първия равнобедрен триъгълник и успоредните AB||DC (от първото условие) получаваме, че [tex]\angle APB=\angle CPB[/tex] - защото и двата ъгъла са равни на [tex]\angle ABP[/tex] ( - едната двойка - ъгли при основата на равнобедрен триъгълник, а втората - като вътрешно кръстни при пресичане на споменатите успоредни с правата BP.

Сега вече разглеждаме [tex]\triangle BQP[/tex] и [tex]\triangle BPC[/tex] .
[tex]\left \{\begin{matrix}
BP=BP\\
PQ=PC\\
\angle QPB=\angle CPB
\end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle BPQ\cong\triangle BPC \,\ \Rightarrow \,\ \angle BQP=\angle BCP=90^\circ[/tex]

Всичко дотук направихме, за да включим седмото условие: [tex]\angle PBQ = 15^\circ[/tex].
С негова помощ и с намереното досега, намираме [tex]\angle DPA = 30^\circ[/tex], а това в правоъгълния [tex]\triangle APD[/tex] означава, че [tex]AP=2.AD[/tex]

Ако означим по-малката страна на правоъгълника [tex]AD=b[/tex], с помощта на последното намерено [tex]AB=2b[/tex] и от условието за периметъра [tex]2b+b+2b+b=60[/tex]
откриваме размерите на правоъгълника [tex]\left|\begin{matrix}
b=10\\
2b=20
\end{matrix}\right.[/tex]

Така в правоъгълника ABCD, [tex]AB=20 \,\ cm[/tex], [tex]AD=20 \,\ cm[/tex] и лицето [tex]S[/tex] на този правоъгълник в квадратни сантиметри e [tex]S=200 \,\ cm^2[/tex].
______________
Остана да си направите чертежа и да проследите отново решението.

[mail_dinko]

Така в правоъгълника ABCD, [tex]AB=20 \,\ cm[/tex], AD=10 cm и лицето [tex]S[/tex] на този правоъгълник в квадратни сантиметри e [tex]S=200 \,\ cm^2[/tex].