Формули за съкратено умножение

[Гост]

Моля за помощ със следните две задачи. Благодаря предварително!

[ammornil]

13a)
[tex]M=\frac{(2x-1)^{3}-2x(x-2)(x+2)}{3}-2(x-1)(x^{2}+x+1)-(2x-1)^{2}+\frac{1}{3}(x+1)[/tex]
[tex]M=\frac{1}{3}[(2x-1)^{3}-2x(x-2)(x+2)-3.2(x-1)(x^{2}+x+1)-3(2x-1)^{2}+(x+1)][/tex]
[tex]M=\frac{1}{3}[(2x)^{3}-3.(2x)^{2}1+3.2x.1-1^{3}-2x(x^{2}-2^{2})-6(x^{3}-1^{3})-3((2x)^{2}-2.2x.1+1^{2})+x+1][/tex]
[tex]M=\frac{1}{3}(\cancel{8x^{3}}-12x^{2}+6x\cancel{-1}\cancel{-2x^{3}}+8x\cancel{-6x^{3}}+6-12x^{2}+12x-3+x\cancel{+1})[/tex]
[tex]M=\frac{1}{3}(-24x^{2}+27x+3)=-8x^{2}+9x+1[/tex]
б)
[tex]x=\frac{1,7^{3}+0,3^{3}}{1,7^{2}-0,51+0,3^{2}}=\frac{(1,7+0,3)\cancel{(1,7^{2}-1,7.0,3+0,3^{2})}}{\cancel{(1,7^{2}-1,7.0,3+0,3^{2})}}=1,7+0,3=2[/tex]

[tex]M(2)=-8.2^{2}+9.2+1=-8.4+19=-32+19=-13[/tex]

[ammornil]

14a)
[tex]a^{3}+b^{3}=?, a+b=11, ab=18[/tex]
[tex](a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=11^{2}-2.18=121-36=85[/tex]
[tex]a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)((a^{2}+b^{2})-ab)=11.(85-18)=11.67=737[/tex]

б)
[tex]ab=?, a^{3}-b^{3}=21, a-b=3[/tex]
[tex](a-b)^2=a^{2}-2ab+b^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=(a-b)^2+2ab =3^{2}+2ab=9+2ab[/tex]
[tex]a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \Leftrightarrow a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+b^{2}+ab) \Leftrightarrow 21=3.(9+2ab+ab)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 7=9+3ab \Leftrightarrow 3ab=-2 \Leftrightarrow ab=-\frac{2}{3}[/tex]

в)
[tex]a^{3}+\frac{1}{a^{3}}, (a\ne0), a+\frac{1}{a}=11[/tex]
[tex]\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2.\cancel{a}.\frac{1}{\cancel{a}}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2} \Rightarrow a^{2}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-2[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=11^{2}-2=121-2=119[/tex]

[tex]a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=\left(a+\frac{1}{a}\right).\left(a^{2}-\cancel{a}.\frac{1}{\cancel{a}} +\left(\frac{1}{a}\right)^{2}\right)[/tex]
[tex]a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=11.(119-1)=11.118=1298[/tex]

г)
[tex]b^{3}-a^{3}=?, a^{2}-b^{2}=8, a+b=4[/tex]
[tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \Rightarrow a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}=\frac{8}{4}=2[/tex]
[tex]a-b = 2 \Rightarrow b-a=-2[/tex]

[tex](a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2} =(a+b)^{2}-2ab \Rightarrow a^{2}+b^{2}=16-2ab[/tex]
[tex](a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2} =(a-b)^{2}+2ab \Rightarrow a^{2}+b^{2}=4+2ab[/tex]
Понеже левите страни на горните две равенства са еднакви, следва че и десните страни са равни.
[tex]16-2ab=4+2ab \Leftrightarrow 4ab= 12 \Leftrightarrow ab=3[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4^{2}-2.3=16-6=10[/tex]

[tex]b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}) \Rightarrow b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+a^{2}+ab) =-2.(10+3)=-2.13=-26[/tex]

[Гост]

Много благодаря! Може ли малко помощ и за тази задача, понеже получавам многочлен от втора степен –2х² –3х+9=0, а в отговорите пише, че х=3, тоест предполагам, че трябва да се получи само
–3х+9=0

[ammornil]

Много благодаря! Може ли малко помощ и за тази задача, понеже получавам многочлен от втора степен –2х² –3х+9=0, а в отговорите пише, че х=3, тоест предполагам, че трябва да се получи само
–3х+9=0

[tex](x-1)^{3}-2(x-2)(2+x)-(x-1)(x^{2}+x+1)-x(2-x)+(1-2x)^{2}=0[/tex]
[tex]x^{3}-3x^{2}+3x-1-2(x^{2}-2^{2})-(x^{3}-1^{3})-2x+x^{2}+(1-2.1.2x+(2x)^{2})=0[/tex]
[tex]\cancel{x^{3}}\cancel{-3x^{2}}+3x\cancel{-1}\cancel{-2x^{2}}+8\cancel{-x^{3}}\cancel{+1}-2x\cancel{+x^{2}}+1-4x\cancel{+4x^{2}}=0[/tex]
[tex]-3x=-9[/tex]
[tex]x=3[/tex]