Неравенства в триъгълника

[Гост]

Здравейте, може ли съдействие с тези задачи?

Да се докаже, че поне два от външните ъгли на триъгълник са тъпи.
Упътване: Отрицанието на даденото твърдение е, че в триъгълника най-много един от външните ъгли е тъп. Опровергайте това отрицание (ще се окаже, че външен ъгъл на триъгълника е по-малък от вътрешен, несъседен нему ъгъл.
Как да опровергая "отрицанието"? Трябва ли да се разгледа и случая, в който нито един от външните ъгли не е тъп?

Да се докаже, че ъглите при основата на равнобедрения триъгълник са остри.
Упътване: Ако допуснете, че тези ъгли не са остри, ще стигнете до противоречие с твърдението в предишната задача.

Балгодаря Ви!

[nikola.topalov]

За първата задача използвай твърдението, че съседния на остър ъгъл е тъп. Нека разгледаме остър ъгъл $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ то съседният му има големина [tex]180^\circ-\alpha[/tex]. Да видим сега този ъгъл в какъв интервал принадлежи. След умножаване с [tex]-1[/tex] даденото ни неравенство за [tex]\alpha[/tex] обръща знаците си и придобива вида $$0^\circ>-\alpha>-90^\circ$$ а оттук след добавяне на [tex]180^\circ[/tex] разбираме, че $$180^\circ>180^\circ-\alpha>90^\circ$$ С това твърдението е доказано. В сила е и обратното твърдение [tex]-[/tex] съседния на тъп ъгъл е остър. Оттук вече лесно можеш да съобразиш, че за остроъгълен триъгълник три от външните му ъгли са тъпи, а за правоъгълен и тъпоъгълен [tex]-[/tex] само два.

За втората задача с [tex]\alpha[/tex] ще си означа ъгъла между бедрата на равнобедрения триъгълник. Тогава ъглите при основата му ще имат големина [tex]90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}[/tex]. Искаме да докажем, че те са остри или с други думи неравенството $$90^\circ>90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}>0^\circ$$ Нека започнем от това, че $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$ Тогава след делене на [tex]2[/tex] получаваме еквивалентното на горното неравенство $$0^\circ<\dfrac{\alpha}{2}<90^\circ$$ Оттук след умножаване с [tex]-1[/tex] стигаме до $$0^\circ>-\dfrac{\alpha}{2}>-90^\circ$$ Ако сега добавим [tex]90^\circ[/tex] получаваме $$90^\circ>90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}>0^\circ$$ което трябваше да се докаже.