Геометрични задачи (еднаквост на триъгълници)

[ivi_petrova]

Задача 1. Върху продълженията на медианите AA[tex]_{1 }[/tex] и CC[tex]_{1 }[/tex] на [tex]\triangle[/tex]ABC са избрани съответно точките M и N такива, че AA[tex]_{1 }[/tex]=A[tex]_{1 }[/tex]M (A[tex]_{1 }[/tex] е между точките A и M) и CC[tex]_{1 }[/tex] = C[tex]_{1 }[/tex]N (C[tex]_{1 }[/tex] е между точките C и N). Докажете, че:
а) BM = BN
б) точките N, B и M лежат на една права.

Задача 2. В равностранния ABC са избрани вътрешни точки M и N така, че [tex]\angle[/tex]CAM = [tex]\angle[/tex]ACM = [tex]\angle[/tex]CBN = [tex]\angle[/tex]BCN = 15[tex]^\circ[/tex].
а) Докажете, че [tex]\triangle[/tex]ABC е равнобедрен.
б) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]ANM.

Задача 3. Върху страната AB на [tex]\triangle[/tex]ABC са взети точки M и N така, че AM = MN = NB. Ако [tex]\angle[/tex]ACM = 15[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]CMB = 60[tex]^\circ[/tex], намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex]ABC.

Задача 4. Върху правата a са избрани точките A, B и C (B е между A и C) и AB>BC. В една от полуравнините, определена от правата a, са построени равностранните [tex]\triangle[/tex] ABM и BCN. Ако P и K са пресечните точки съответно на AN с BM и BN с MC, докажете, че [tex]\triangle[/tex]BPK е равностранен.