Две задачи за подготовка за НВО за 7 кл

[Nathi123]

В книга за ученика по математика за 7 кл с автори З.Паскалева;М Алашка и Р Алашка са предложени две еднотипни задачи в дадените тестове по геометрия,а именно:
1.зад. В квадрата ABCD е построен лъч с начало т.В,който минава във вътрешността на квадрата и образува ъгъл 58[tex]^\circ[/tex] с ВС.Ако точка Q е петата на перпендикуляра спуснат от точка D към построения лъч,намерете големината на [tex]\angle DCQ[/tex] в градуси .
2.зад. Външно за ромба ABCD , в който [tex]\angle BAD=50 ^\circ[/tex], е построен квадрат DCPQ . Ако О и O[tex]_{1 }[/tex] са пресечните точки на диагоналите
съответно на ромба и квадрата ,намерете [tex]\angle DO _{1 } O[/tex] в градуси.
Едната от тези задачи май беше коментирана на форума,но предложеното решение беше с използване на четириъгълник вписан в окръжност и ъгли вписани в окръжност материал,който не се изучава в 7 клас.Признавам не проследих,дали беше предложено решение с използване само със знания по геометрия изучавани в 7 клас.
Така ,че за тези две задачи да се решават само с изученото в 7 клас.

[Гост]

ima razlika mezhdu zadacha, podhodjashta za sedmi klas, i zadacha, kojato mozhe da se reshi sus znanija za sedmi klas...

[Гост]

osobeno puk za maturi, zadachite triabva da sa leki, a ne da te frustrirat...

[Евва]

1 зад. реших с допълнително построение и получих 13[tex]^\circ[/tex] .

Скрит текст: покажи

Гост , кой уч-к ще се представи по-добре -този , който се е подготвял в/у лесни задачи , или този , който се е подготвял в/у трудни задачи ?

[S.B.]

Едната от тези задачи май беше коментирана на форума,но предложеното решение беше с използване на четириъгълник вписан в окръжност и ъгли вписани в окръжност материал,който не се изучава в 7 клас.Признавам не проследих,дали беше предложено решение с използване само със знания по геометрия изучавани в 7 клас.
Така ,че за тези две задачи да се решават само с изученото в 7 клас.

Решението е ТУК

[Nathi123]

Двете задачи се решават лесно,ако се използва следната задача: Нека ABCD е четириъгълник,за който ВС = CD ,[tex]\angle BCD=90 ^\circ[/tex] и [tex]\angle BAD=90 ^\circ[/tex].Да се докаже,че [tex]\angle DCB= \angle DAB[/tex].Доказателство: Нека т.М е средата на BD[tex]\Rightarrow CM= \frac{1}{2}BD=DM=MB[/tex];аналогично [tex]AM= \frac{1}{2}BD[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] AM=CM[tex]\Rightarrow \angle CAM= \angle ACM[/tex].Нека [tex]\angle DCA=x[/tex]; [tex]\angle DBA=y[/tex].DC=BC[tex]\Rightarrow CM \bot BD[/tex]
[tex]\angle MCD=45 ^\circ \Rightarrow \angle ACM=45 ^\circ -x; AM=MB \Rightarrow \angle MAB= \angle MBA=y \Rightarrow \angle AMD=2y[/tex] (външен за [tex]\triangle AMB )[/tex].
[tex]\Rightarrow \angle AMD= 2y+90 ^\circ[/tex];[tex]\triangle AMC \Rightarrow \angle CAM=45 ^\circ+x-2y[/tex];[tex]\angle CAM= \angle ACM \Leftrightarrow[/tex]
45[tex]^\circ[/tex] +x -2y= 45[tex]^\circ[/tex] -x [tex]\Leftrightarrow 2x=2y \Leftrightarrow x=y[/tex].

[Евва]

1 зад. (2 начин) Нека правите BQ и CD се пресичат в т.Т , а правите QD и BC се пресичат в т.Р .
Нека т.К лежи на отс. DP така ,че [tex]\angle[/tex]КСР =[tex]\angle[/tex]DCQ=[tex]\alpha[/tex] . (1)
[tex]\alpha[/tex]=?

([tex]\triangle[/tex]QBP) [tex]\angle[/tex]QPB=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-58[tex]^\circ[/tex]=32[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]DCP) [tex]\angle[/tex]PDC=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-32[tex]^\circ[/tex]=58[tex]^\circ[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]TBC и [tex]\triangle[/tex]DCP .
1. BC=CD
2. [tex]\angle[/tex]TBC=[tex]\angle[/tex]PDC=58[tex]^\circ[/tex]
3. [tex]\angle[/tex]BCT=[tex]\angle[/tex]DCP=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 признак [tex]\triangle[/tex]TBC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DCP [tex]\Rightarrow[/tex] CT=CP

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]TQC и [tex]\triangle[/tex]KCP
1. CT=CP
2. [tex]\angle[/tex]QTC=[tex]\angle[/tex]CPK=32[tex]^\circ[/tex]
3. [tex]\angle[/tex]QCT=[tex]\angle[/tex]KCP=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 2 пр. [tex]\triangle[/tex]TQC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]KCP [tex]\Rightarrow[/tex] QC=KC

Разглеждаме равнобедрения [tex]\triangle[/tex]QCK .
[tex]\angle QCK= \angle QCD+\angle DCK[/tex]=[tex]\angle[/tex]QCD+[tex]\angle[/tex]DCP- [tex]\angle[/tex]KCP=( виж (1) ) [tex]\alpha[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] =90[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\triangle[/tex]QCK е и правоъгълен т.е. [tex]\angle[/tex]KQC=45[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]TQC) [tex]\angle[/tex]CTQ+[tex]\angle[/tex]TQC+[tex]\angle[/tex]QCT=180[tex]^\circ[/tex]
32[tex]^\circ[/tex]+(90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex])+[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=13[tex]^\circ[/tex]

[Nathi123]

За задачата,която използвам при решението на двете задачи от Книга за ученика ,допуснала съм грешка при написване на текста на задачата.Иначе доказателството е това, което съм дала.И така Нека ABCD е четириъгълник,за който DC=BC;[tex]\angle BCD= \angle BAD=90 ^\circ[/tex].Да се докаже,че [tex]\angle DCA= \angle DBA[/tex].