Квадрат

[Гост]

В квадрата ABCD е взета вътрешна точка P, такава че ъгъл ABP = ъгъл BAP = 15 градуса. Да се докаже, че триъгълник CDP е равностранен.

Благодаря предварително!

[Какаши Сенсей]

мисля че има грешка в условието, защото на мене ми излиза че този триъгълник е равнобедрен, а не равностранен

[Гост]

ravnostranen e

[Евва]

Построяваме [tex]\triangle[/tex]DAM[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ABP .
Тогава [tex]\angle[/tex]DAM=[tex]\angle[/tex]BAP=15[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MAP=90[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]APM е равнобедрен по построение с [tex]\angle[/tex]МАР=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АРМ е равностранен

[tex]\angle[/tex]АМР+[tex]\angle[/tex]АМD+[tex]\angle[/tex]PMD=360[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]+150[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]PMD=360[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]PMD=150[tex]^\circ[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]AMD и [tex]\triangle[/tex]MPD
1. AM=PM
2. MD=MD
3. [tex]\angle[/tex]AMD=[tex]\angle[/tex]PMD=150[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\cong[/tex]MPD по 1 признак
Тогава PD=AD , oт ABCD -квадрат знаем CD=AD [tex]\Rightarrow[/tex] PD=CD (1)

[tex]\angle[/tex]PDC=[tex]\angle[/tex]ADC-[tex]\angle[/tex]ADM-[tex]\angle[/tex]PDM
[tex]\angle[/tex]PDC=90[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex]-15[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]PDC=60[tex]^\circ[/tex] (2)

От (1) и (2) следва ,че [tex]\triangle[/tex]PCD е равностранен