Задача от 2-ри модул за 7 клас

[Zlatina]

[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и равнобедрен, а [tex]\triangle[/tex]BMN е равностранен. Отсечката PO е перпендикулярна на MN и AB = BM = BP.

A) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]CBN и ъглите на [tex]\triangle[/tex]APB.
Б) Докажете, че [tex]\triangle[/tex]PBC [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]NBC.
В) Ако PN = 24 см, то намерете лицето на [tex]\triangle[/tex]PON в кв. см.

[Румен Симеонов]

[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и равнобедрен, а [tex]\triangle[/tex]BMN е равностранен. Отсечката PO е перпендикулярна на MN и AB = BM = BP.

A) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]CBN и ъглите на [tex]\triangle[/tex]APB.
Б) Докажете, че [tex]\triangle[/tex]PBC [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]NBC.
В) Ако PN = 24 см, то намерете лицето на [tex]\triangle[/tex]PON в кв. см.

Не можах да намеря задачата тук:

https://web.mon.bg/bg/100465
Тестове и верни отговори от НВО за VII клас по години

Моля дайте линк към мястото откъдето е взета задачата. Налага се преди да я реша да установя дали чертежът е част от условието и в частност, но не само, дали е разрешено да измервам ъгли от чертежа. Моля уточнете и Вие, ако сте изгубили връзка към източника или не сте преписали дословно условието или ако именно Вие сте направила чертежа съобразявайки се (по Ваш си наачин) с текста на задача, която, може би, оригинално е била поставена без чертеж(7).

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и равнобедрен, а [tex]\triangle[/tex]BMN е равностранен. Отсечката PO е перпендикулярна на MN и AB = BM = BP.

A) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]CBN и ъглите на [tex]\triangle[/tex]APB.
Б) Докажете, че [tex]\triangle[/tex]PBC [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]NBC.
В) Ако PN = 24 см, то намерете лицето на [tex]\triangle[/tex]PON в кв. см.

Без заглавие - 2023-05-21T115154.707.png (279.94 KiB) Прегледано 1841 пъти

Пропуснали сте да препишете,че точките $A$, $B$ и $M$ лежат на една права , а точките $C$ и $N$ лежат извън правата в една и съща полуравнина относно $AB$ или може би това според авторите или според Вас би трябвало да се подразбира от чертежа,който е приложен?
а)
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен и правоъгълен [tex]\Rightarrow \angle CAB = \angle ABC = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle BMN[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle NBM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABM[/tex] е изправен [tex]\Rightarrow \angle ABM = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle CBN = 180 ^\circ - (45 ^\circ + 60 ^\circ) \Leftrightarrow \angle CBN = 180 ^\circ - 105 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle CBN = 75 ^\circ $$
[tex]BO \bot MN \Rightarrow BO[/tex] е височина,ъглополовяща и медиана в равностранния [tex]\triangle BMN \Rightarrow \angle OBM = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABP = \angle OBM[/tex] ( като противоположни ъгли)[tex]\Rightarrow \angle ABP = 30 ^\circ[/tex]
[tex]PB = AB \Rightarrow \triangle ABP[/tex] е равнобедрен ,с ъгъл при върха [tex]\angle ABP = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BAP = \angle APB = \frac{180 ^\circ - 30 ^\circ }{2} = 75 ^\circ \Rightarrow[/tex] ъглите на [tex]\triangle APB[/tex] са:
$$30 ^\circ ,75 ^\circ ,75 ^\circ $$

б)
Разглеждам [tex]\triangle PBC[/tex] и [tex]\triangle CBN[/tex] :
1) $BC$ е обща страна

2) [tex]\begin{cases} BP = BM \\ BM= BN \end{cases} \Rightarrow PB = BN[/tex]

3)[tex]\begin{cases} \angle CBN = 75 ^\circ \\ \angle CBP = \angle CBA + \angle ABP = 45 ^\circ + 30 ^\circ = 75 ^\circ \Rightarrow \angle CBN = \angle CBP\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] по първи признак:
$$ \triangle PBC \cong \triangle CBN $$

в)
[tex]PB = BN \Rightarrow \triangle PBN[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle NPB = \angle BNP[/tex]
[tex]\angle OBN = 30 ^\circ[/tex] е външен за триъгълника[tex]\Rightarrow \angle OBN = \angle NPB + \angle BNP[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle NBP = \angle BNP = 15 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle PON[/tex] е правоъгълен с остър ъгъл [tex]15 ^\circ[/tex]
[tex]OH \bot PN , H \in PN , PN = 24,[/tex] - хипотенуза
Използвам Основна задача ,според която в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл [tex]15 ^\circ[/tex] височината към хипотенузата е [tex]\frac{1}{4}[/tex] от нея
[tex]\Rightarrow OH = \frac{PN}{4} \Leftrightarrow OH = \frac{24}{4} \Rightarrow OH = 6[/tex]
[tex]S_{PON } = \frac{PN.OH}{2} = \frac{24.6}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{PON } = 72 cm^{2 } $$

[Румен Симеонов]

[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и равнобедрен, а [tex]\triangle[/tex]BMN е равностранен. Отсечката PO е перпендикулярна на MN и AB = BM = BP.

A) Намерете мярката на [tex]\angle[/tex]CBN и ъглите на [tex]\triangle[/tex]APB.
Б) Докажете, че [tex]\triangle[/tex]PBC [tex]\cong[/tex] [tex]\triangle[/tex]NBC.
В) Ако PN = 24 см, то намерете лицето на [tex]\triangle[/tex]PON в кв. см.

Без заглавие - 2023-05-21T115154.707.png

Пропуснали сте да препишете,че точките $A$, $B$ и $M$ лежат на една права , а точките $C$ и $N$ лежат извън правата в една и съща полуравнина относно $AB$ или може би това според авторите или според Вас би трябвало да се подразбира от чертежа,който е приложен?
а)
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен и правоъгълен [tex]\Rightarrow \angle CAB = \angle ABC = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle BMN[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle NBM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABM[/tex] е изправен [tex]\Rightarrow \angle ABM = 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle CBN = 180 ^\circ - (45 ^\circ + 60 ^\circ) \Leftrightarrow \angle CBN = 180 ^\circ - 105 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle CBN = 75 ^\circ $$
[tex]BO \bot MN \Rightarrow BO[/tex] е височина,ъглополовяща и медиана в равностранния [tex]\triangle BMN \Rightarrow \angle OBM = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ABP = \angle OBM[/tex] ( като противоположни ъгли)[tex]\Rightarrow \angle ABP = 30 ^\circ[/tex]
[tex]PB = AB \Rightarrow \triangle ABP[/tex] е равнобедрен ,с ъгъл при върха [tex]\angle ABP = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BAP = \angle APB = \frac{180 ^\circ - 30 ^\circ }{2} = 75 ^\circ \Rightarrow[/tex] ъглите на [tex]\triangle APB[/tex] са:
$$30 ^\circ ,75 ^\circ ,75 ^\circ $$

б)
Разглеждам [tex]\triangle PBC[/tex] и [tex]\triangle CBN[/tex] :
1) $BC$ е обща страна

2) [tex]\begin{cases} BP = BM \\ BM= BN \end{cases} \Rightarrow PB = BN[/tex]

3)[tex]\begin{cases} \angle CBN = 75 ^\circ \\ \angle CBP = \angle CBA + \angle ABP = 45 ^\circ + 30 ^\circ = 75 ^\circ \Rightarrow \angle CBN = \angle CBP\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] по първи признак:
$$ \triangle PBC \cong \triangle CBN $$

в)
[tex]PB = BN \Rightarrow \triangle PBN[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle NPB = \angle BNP[/tex]
[tex]\angle OBN = 30 ^\circ[/tex] е външен за триъгълника[tex]\Rightarrow \angle OBN = \angle NPB + \angle BNP[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle NBP = \angle BNP = 15 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle PON[/tex] е правоъгълен с остър ъгъл [tex]15 ^\circ[/tex]
[tex]OH \bot PN , H \in PN , PN = 24,[/tex] - хипотенуза
Използвам Основна задача ,според която в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл [tex]15 ^\circ[/tex] височината към хипотенузата е [tex]\frac{1}{4}[/tex] от нея
[tex]\Rightarrow OH = \frac{PN}{4} \Leftrightarrow OH = \frac{24}{4} \Rightarrow OH = 6[/tex]
[tex]S_{PON } = \frac{PN.OH}{2} = \frac{24.6}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{PON } = 72 cm^{2 } $$

Не само споменатото, а и други неща се вземат на доверие от чертежа: например, но не само - че ъгъл $BCA$ е прав. Иначе, аз бях позабравил тази ,,основна задача" и ми беше приятно, че ми я припомнихте, за да не използвам питагоровата теорема за намиране катетите
$PO=x(2\space+\sqrt{3})$ и $ON=x$.
При което, даже, от питагоровата не е необходимо да намираме самите катети $PO=6\sqrt{2}(\sqrt{3}+1), ON=12/\sqrt{2+\sqrt{3}}=6\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$, а можем направо да намерим стойността на лицето=израза $S=(1/2)x^2(2\space+\sqrt{3})=24^2/8=72$.
Обаче, като отида на кандидат-студентския изпит, няма да смея да я използвам тази ,,основна задача", защото не знам в кой учебник за кой клас е решена, а и дали е решена и дали въобще се преподава в училище. Всъщност дали според справочниците за кандидат-студенти тази задача може да се използва наготово, някой знае ли?

[S.B.]

Чудесно,но Вие явно не сте на ясно,че това е НВО след 7 клас, където не се изучават тези неща за които споменавате.Имате право на твърде ограничен материал!Да не говорим за действие коренуване.Те не знаят какво е радикал.

[Румен Симеонов]

Считам, че тая задача на седмицата вече спокойно може да бъде избутана от този пиедестал (от следваща задача на седмицата), където сегашната успя да пренощува само една нощ - нощта преди началото на нейната звездна седмица, ако броим неделите за начала, а не понеделниците. Например, някой може да постави задачата да се даде училищната дефиниция за триъгълник и да се докаже, че лицето на всеки триъгълник е равно на нула, според тази дефиниция, като се използва, че лицето на всяка отсечка, а и на всяка точка е равно на нула. В крайна сметка, не е ли крайно време да научим дали триъгълниците се състоят само от точки по отсечки и върхове или заградените от периметъраната начепена тризвенна линия точки също се числят към триъгълника? - според училищната дефиниция за триъгълник в България, която на мен не ми е известна, но мисля,че вероятно съвпада с дефиницията от книгата на Погорелов.

[S.B.]

Обаче, като отида на кандидат-студентския изпит, няма да смея да я използвам тази ,,основна задача", защото не знам в кой учебник за кой клас е решена, а и дали е решена и дали въобще се преподава в училище. Всъщност дали според справочниците за кандидат-студенти тази задача може да се използва наготово, някой знае ли?

Без заглавие - 2023-05-21T170417.756.png (219.25 KiB) Прегледано 1827 пъти

Това,че Вие не знаете за тази задача съвсем не означава,че и седмокласниците не знаят за нея!Напротив!Тези които съвестно са следили материала,много добре знаят,че тя се решава след урока за правоъгълен триъгълник с остър ъгъл [tex]30 ^\circ[/tex].
За да не се чувствате ощетен,аз ще Ви напиша решението на тази задача:
В[tex]\triangle ABC , \angle A = 15 ^\circ , \angle C = 90 ^\circ , CH \bot AB, H \in AB[/tex]
Да се докаже, че [tex]CH = \frac{1}{4}AB[/tex]
Доказателство:
Построявам $CM$ - медиана към хипотенузата
[tex]CM = AM = BM \Rightarrow CM = \frac{1}{2}AB[/tex] (Вярвам,че знаете защо!)
[tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle MAC = \angle ACM = 15 ^\circ \Rightarrow \angle CMB = 30 ^\circ[/tex] (като външен ъгъл за [tex]\triangle AMC[/tex])
[tex]\triangle MHC[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle CMH = 30 ^\circ \Rightarrow CH = \frac{1}{2}MC[/tex] ( и сега вярвам,че знаете защо)
[tex]\begin{cases} CH = \displaystyle\frac{1}{2}MC \\ MC = \displaystyle\frac{1}{2}AB \end {cases} \Rightarrow CH =\displaystyle \frac{1}{4}AB[/tex]

Ето,че сега и Вие (както и седмокланиците) , имате информация за тази задача!

[Румен Симеонов]

Чудесно,но Вие явно не сте на ясно,че това е НВО след 7 клас, където не се изучават тези неща за които споменавате.Имате право на твърде ограничен материал!Да не говорим за действие коренуване.Те не знаят какво е радикал.

О боже, значи моето решение се кани да пропадне само защото не мога да изразя височината $y$ на равностранния триъгълник чрез полустраната му $x$ по формула с умножение с квадратен корен от 3. Ами добре тогава. Нека височината в равностранния триъгълник (която е и медиана) е $y$. За $x, y$ от питагоровата теорема, приложена за половината от равностранния триъгълник имаме $(2x)^2=x^2+y^2$, т.е. $y^2=3x^2$. След това намираме и другия катет, освен катета $x$, на онзи правоъгълен триъгълник, чието лице се търси и чиято хипотенуза е 24. Този друг катет е, очевидно, $2x+y$. Прилагаме и за този провоъгълен триъгълник питагоровата теорема и получаваме, че $24^2=(2x+y)^2+x^2=5x^2+y^2+4xy=8[x^2+(xy)/2]$, откъдето следва, че:
$72=x^2+(xy)/2=(1/2)(2x+y)x=S_{\triangle PON}$.
Така заобиколих, и то с много лесно и ,,елегантно" решение, както използването на .радикали (квадратен корен от 3 във формулата за височина на равностранен триъгълник), така и използването на помощна задача. Последното има смисъл тъй като, както разбирам от Вас, помощната задача не се изучава като част от уроците в училище до 7-ми клас. Дори и ако задължително се решава, след определен урок, щом не е част от урок, все пак, на изпит ще трябва отделно да се формулира и доказва от ученика, преди да може да я използва. По-добре да го тренираме всеки път да прилага решението без да споменава, че това е известна задача. Просто казва, че си спуска височината, прекарва медианата към хипотенузата, прилага теоремата за катет срещу 30 градуса, както и прилага теоремата, че средата на хипотенузата е на равни разстояния от върховете (в произволен правоъгълен триъгълник), както и прилага и теоремата, че външния ъгъл винаги е равен на сумата на противоположните му вътрешни ъгли.

Всъщност, не съм казвал, че нямам решение на помощната Ви задача. Ако се замислите, моето решение, което току-що изложих, всъщност решава и помощната задача, само дето не е заявен този факт, защото аз нямам нужда да използвам помощната задача. Което го имах предвид още преди да ми обърнете внимание за радикалите, но нарочно не го заявявах. Така, че, моето, в горния си окончателен вид, решение на първоначалната задача вече отвсякъде се конкурира с Вашето, което също е много хубаво.
ОБАЧЕ,
сега ако ми кажете, че 7-мокласниците не са учили и питагоровата теорема, ще падна от стола и ще се призная за победен и за непознаващ спецификата на подготовката за НВО за 7-класници (последното и не съм го твърдял).
Май, все пак, трябва, дори и ако е изучавана теоремата на Питагор, да призная Вашето решение за мааалко по-елементарно (измервано по сумарна сложност в дълбочина на използваните неща, а не по сложността от гледна точка на ученика на изпит) от моето, но не и по-лесно и по-кратко от гледна точка на ученик на изпит. Поздравления! Все пак, кажете да науча и аз дали питагоровата може да се използва на НВО за 7-класници, моля, та да можем да преминем към друга задача на седмицата.

[S.B.]

Седмокласниците не могат да. коренуват.Знаят за съществуването на Питагорова теорема от 6 клас само с точни квадрати.Основно Питагорова теорема се изучава в 9 клас.В седми клас се изучават успоредни прави и ъглите образувани при пресичане на две успоредни прави с трета,еднакви триъгълници,свойства на симетрала,и ъглополовяща,сбор на ъглите в триъгълник,видове триъгълници и отсечките в тях.Успоредник,ромб,правоъгълник и квадрат.Знам,че е трудно да забравиш много работи за да решиш една задача със знанията на определен клас,но в това се състои методиката за преподаване на математика.Тук много колеги сме си вадили хляба с това,което за Вас е безумие.

[Румен Симеонов]

Седмокласниците не могат да. коренуват.Знаят за съществуването на Питагорова теорема от 6 клас само с точни квадрати.Основно Питагорова теорема се изучава в 9 клас.В седми клас се изучават успоредни прави и ъглите образувани при пресичане на две успоредни прави с трета,еднакви триъгълници,свойства на симетрала,и ъглополовяща,сбор на ъглите в триъгълник,видове триъгълници и отсечките в тях.Успоредник,ромб,правоъгълник и квадрат.Знам,че е трудно да забравиш много работи за да решиш една задача със знанията на определен клас,но в това се състои методиката за преподаване на математика.Тук много колеги сме си вадили хляба с това,което за Вас е безумие.

Хм, да, много благодаря за тази равносметка и за отделеното време. Само ако може още едно въпросче - последно. Аз използвам питагоровата теорема с буквени изрази докато не стигна до лицето, което е цяло число и минавам без радикали. Даже до последния момент не работя с конкретни числа и не е важно дали те са точни квадрати. В такъв смисъл, щом още от 6-ти клас се знае от учениците питагоровата теорема, значи моето решение също ще се признае на НВО, нали? Или въобще е непозволено(?) използването на питагоровата теорема на НВО за 7-ми клас? Позволено ли е?

[S.B.]

Вие получавате нещо като квадратно уравнение и то с 2 неизвестни. X и Y.Тук меко казано нагазихте в алгебрата им.Те са учили само линейни уравнения с едно неизвестно,модулни уравнения с едно неизвестно и параметрични уравнения с едно неизвестно.Учили са едночлени,многочлени,разлагане на множители,формули са съкратено умножение.Дробно линейни уравнения,квадратни и системи се изучават в 8 клас.

[Румен Симеонов]

Вие получавате нещо като квадратно уравнение и то с 2 неизвестни. X и Y.Тук меко казано нагазихте в алгебрата им.Те са учили само линейни уравнения с едно неизвестно,модулни уравнения с едно неизвестно и параметрични уравнения с едно неизвестно.Учили са едночлени,многочлени,разлагане на множители,формули са съкратено умножение.Дробно линейни уравнения,квадратни и системи се изучават в 8 клас.

Е не, вече не съм съгласен. Не съм стигнал до и не решавам уравнение/я с 2 неизвестни. Това че в равенството има 2 букви не означава, че ги търсим и двете поотделно. Напротив, в равенството от едната страна се палучава число, а от другата страна точно израз на двете букви даващ именно търсеното лице. Това е много хитро и напълно позволено и няма нужда да се решава каквато и да е система с 2 неизвестни. Противното би означавало 7--мокласниците да нямат право да пишат и преработват равенства с две букви, каквато е например формулата за лице на триъгълник - равно на основа по височина върху 2, в което участват дори 3 букви. Приемам вашето мълчание за ,,да - известна е и може да бъде използвана на НВО за 7-клас теоремата на Питагор в общ буквен запис $a^2+b^2=c^2$", при което, разбира се, продължавам аз, ако $а=2x+y$, то в тази формула $a^2$ спокойно може да се замести с $4x^2+y^2+4xy$ и т.н. - следващи преработки. Нищо не съм ,,нагазил", освен, че израза е неподходящ. Считам, че моето решение е по-икономично отколкото прилагането на разсъжденията от помощната задача, при които се цитират 3 различни теореми, а при моето решение 2 пъти една и съща теорема - на Питагор, плюс - теоремата че височината в равностранен триъгълник всъщност е неговата медиана. Освен това, в моето решение няма никакви хитроумни допълнителни построения, които изискват досещане, а и то се записва много по-кратко, предвид липсата на необходимост от доказване на помощно твърдение. Да спрем дотук. Разбрахме си мненията и до съответната степен се уважихме взаимно. Изказах Ви и благодарности, за съответното.

[S.B.]

По този начин нито един седмокласник не би решавал.Те не го разбират и няма да го напишат така.Нещо повече - дори и през акъла няма да им мине да напишат такова нещо!Вашата работа сигурно ще бъде единственото такова решение,а как ще бъде оценено - зависи от методическите указания,които ще бъдат дадени на комисиите.Вср пак - желая Ви успех!

[ammornil]

Обаче, като отида на кандидат-студентския изпит, няма да смея да я използвам тази ,,основна задача", защото не знам в кой учебник за кой клас е решена, а и дали е решена и дали въобще се преподава в училище. Всъщност дали според справочниците за кандидат-студенти тази задача може да се използва наготово, някой знае ли?

За Ваше сведение, Националното Външно Оценяване след седми клас е матура. Доколкото ми е известно, в България няма кандидат-студентски изпити след седми клас.

Считам, че моето решение е по-икономично отколкото прилагането на разсъжденията от помощната задача, при които се цитират 3 различни теореми, а при моето решение 2 пъти една и съща теорема - на Питагор, плюс - теоремата за катет срещу ъгъл от 30 градуса. Освен това, в моето решение няма никакви хитроумни допълнителни построения, които изискват досещане, а и то се записва много по-кратко, предвид липсата на необходимост от доказване на помощно твърдение.

Можете да се тупате сам по рамото колкото искате, един чертеж от Ваша страна към решението, ще е от полза за четящите. Решението Ви е интерсно, но като баща на седмокласник- не е за нивото на общо-образователните училища.

[Румен Симеонов]

Обаче, като отида на кандидат-студентския изпит, няма да смея да я използвам тази ,,основна задача", защото не знам в кой учебник за кой клас е решена, а и дали е решена и дали въобще се преподава в училище. Всъщност дали според справочниците за кандидат-студенти тази задача може да се използва наготово, някой знае ли?

За Ваше сведение, Националното Външно Оценяване след седми клас е матура. Доколкото ми е известно, в България няма кандидат-студентски изпити след седми клас.

Считам, че моето решение е по-икономично отколкото прилагането на разсъжденията от помощната задача, при които се цитират 3 различни теореми, а при моето решение 2 пъти една и съща теорема - на Питагор, плюс - теоремата за катет срещу ъгъл от 30 градуса. Освен това, в моето решение няма никакви хитроумни допълнителни построения, които изискват досещане, а и то се записва много по-кратко, предвид липсата на необходимост от доказване на помощно твърдение.

Можете да се тупате сам по рамото колкото искате, един чертеж от Ваша страна към решението, ще е от полза за четящите. Решението Ви е интерсно, но като баща на седмокласник- не е за нивото на общо-образователните училища.

Е добре де, единият път съм объркал наименованието на мероприятието (оценяване или конкурс). Това, че така верижно учениците няма да го запишат е вярно. Аз го научих от първите страници на учебника на Грауерт, Либ и Фишер по ДИС. Но има и друг начин на записвате на същото. А именно. Записвате питагоровата теорема за двата правоъгълни триъгълника. Наистина получавате 2 равенства за двете неизвестни $x,y$ които ви се виждат трудни за решаване. Решавате все пак да използвате по-лесното $y^2=3x^2$ за някокво опростяване на по-сложното, в което замествате $y^2=3x^2$ и получавате известно опростяване и на по-сложното:

(1) $2x^2+xy=144$.

В този вомент решавате и да запишете изразено чрез същите букви и това, което се търси като и предвиждате, че след като го запишете ще опитате от известното да изразите търсеното. Оказва се, че търсеното лице се изразява така:;

(2) $S=(1/2)(2x+y)x$.

Поглеждате към изведеното от питагоровите теореми раненство (1) и подскачате от радост. Записвате текст от решението:

От (1) и (2) следва:

(3) $S=144/2=72$.

Вярно е, че повечето ученици няма да използват следната идея :
I:
1. Обозначете с няколко букви (в случая 2) отсечки или ъгли и т.н., с които ще можете за изразите търсените величини.
2. Потърсете зависимости между тези букви - например, като запишете питагорови теореми за 1 или повече правоъгълни триъгълника или изразите други дадени по условие неща.
3. Опитайте от наличните зависимости, чрез преработка на ирази да получите израза, за търсената/ите величини.

Тази схема не е моя. Научил съм я от моите учители. Това е логическа принципна схема с много конкретни реализации в различни задачи. Конкретните реализации изискват конкретни съображения във всяка конкретна задача. Изискват и смелост/надежда, че след съответните изразявания ще успеете да преработите даденото и от него да достигнете до търсеното.

Вместо това, съвременните учители обучават учениците на много по-прости и по-всеобщи, но затова пък не винаги работещи схеми, като например от типа:
II:
1. Въведете обозначения за няколко неизвестни измерения, с които да изразите всичко, включително и търсените величини.
2.. Потърсете зависимости/уравнения между неизвестните, които да Ви дадат възможност да намерите стойностите на всяка от тях.
3. Заместете намерените стойности на неизвестните в израза/ите за търсените величини (в случая едно лице).

Успехът на корепетиторите не се дължи на развиване на самостоятелното аналитично мислене на учениците, а на поддържане информация за всички типове давани досега задачи и обучаване на учениците на конкретни стандартни схеми за решаване на вкяка от тях. Нормално, този е печелившия подход при даване на уроци, защото масовият ученик колкото и да му развиваш способностите не успяваш да ги развиеш. Напротив, в общия случай, учениците предпочитат да наизустят готови схеми и да ги прилагат без да мислят много-много, а даже и без да разбират какво точно правят, важното е, че накрая по тези схеми получават верния отговор, много често, макар и обикновено недостатъчно доказан, а понякога и неизчерпващ всички възможни отговори и всички необходими доказателства.

По отношение съвета Ви да направя чертеж. Не разбрахте ли, че аз използвам чертежа от условието и не се нуждая от НИКАКВИ допълнителни построения? Не ми е необходимо и да свързвам $P$ с $N$ за да ,,видя" триъгълника $PON$ и да видя, че неговият ъгъл $O$ е прав. Същото се отнасся и за отсечките $PC$ и $NC$ - не съм длъжен да ги начертая, а. си ги представям и без да са начертани.

Ако сте все още на вълна една предишна задача на седмицата, там направих най-реалистичния и най-прецизен и достоверен чертеж.

[Гост]

Към потребителя Румен Симеонов.
Спрете да използвате форума за говорилня по никому ненужни теми.
На няколко пъти използвате раздела "Задача на седмицата", в опит за чат на разни филосовски въпроси.Правете разлика между задача и въпрос.Не че няма необходимост от подобно нещо, но не е на подходящото място.В момента използвате раздела НВО за 7 клас и обяснявате какво сте прочел в учебници по Висша математика.Отново сте в грешния раздел.Не еднократно нарушавате правилата на форума чрез писане на много неща извън темата (offtopic), в това число и материали неподхдящи, за обявената тема и електората, който евентуално ще я следи.Спрете с тези Ваши глупости , защото по този начин разваляте създадения имидж на сайта.Съобразявайте се какво и къде пишете, като имате предвид нивото и знанията на съответните потребители.Ако имате желание да помагате пишете кратки и точни решения съобразени със знанията на потенциалните читатели.
Ако просто искате да си избивате комплексите , че сте по един или друг начин недооценен Ви съветвам да си намерите друго място за целта.

[Румен Симеонов]

Към потребителя Румен Симеонов.
Спрете да използвате форума за говорилня по никому ненужни теми.
На няколко пъти използвате раздела "Задача на седмицата", в опит за чат на разни филосовски въпроси.Правете разлика между задача и въпрос.Не че няма необходимост от подобно нещо, но не е на подходящото място.В момента използвате раздела НВО за 7 клас и обяснявате какво сте прочел в учебници по Висша математика.Отново сте в грешния раздел.Не еднократно нарушавате правилата на форума чрез писане на много неща извън темата (offtopic), в това число и материали неподхдящи, за обявената тема и електората, който евентуално ще я следи.Спрете с тези Ваши глупости , защото по този начин разваляте създадения имидж на сайта.Съобразявайте се какво и къде пишете, като имате предвид нивото и знанията на съответните потребители.Ако имате желание да помагате пишете кратки и точни решения съобразени със знанията на потенциалните читатели.
Ако просто искате да си избивате комплексите , че сте по един или друг начин недооценен Ви съветвам да си намерите друго място за целта.

На което небезизвестният потребител Румен Симеонов, който се старае прецизно да изясни какво може и какво не може да се признае за решение на задача от НВО за 7-ми клас, а и да помогне на учениците да излязат извън схемите на които ги приучават, а и дали е вярно посгавеното заглавие на задачата, отговори с кратичък въпрос:
А вие ,,Гост" кой всъщност сте и в какво си качество си позволявате да коментирате качества на личността ми, да налагате изисквания към мен и да ме обиждате публично, без да се изказвате по темата, като не отчитате, че има отделно място за коментиране правилата на форума, а и моля Ви съобразете, че всичко което съм написал е по темата, а и нямаше да пиша толкова много, ако не бях непрекъснато предизвикван, от ваши или подобни на вашите коментари. Май Вие избивате някакви комплекси, а не аз. Спрете най-после и се идентифицирайте, за да мога, ако реша, евентуално, да Ви повдигна съответно обвинение по НК. Дайте Ваше решение или коментирайте и сравнете по същество дадените решения. Това би било разговор по темата. Но вие можете ли да проведете такъв? Не разбирам коя обувка ви стяга, но и няма осообено значении - не е по темата.

[Румен Симеонов]

Към потребителя Румен Симеонов.
Спрете да използвате форума за говорилня по никому ненужни теми.
На няколко пъти използвате раздела "Задача на седмицата", в опит за чат на разни филосовски въпроси.Правете разлика между задача и въпрос.Не че няма необходимост от подобно нещо, но не е на подходящото място.В момента използвате раздела НВО за 7 клас и обяснявате какво сте прочел в учебници по Висша математика.Отново сте в грешния раздел.Не еднократно нарушавате правилата на форума чрез писане на много неща извън темата (offtopic), в това число и материали неподхдящи, за обявената тема и електората, който евентуално ще я следи.Спрете с тези Ваши глупости , защото по този начин разваляте създадения имидж на сайта.Съобразявайте се какво и къде пишете, като имате предвид нивото и знанията на съответните потребители.Ако имате желание да помагате пишете кратки и точни решения съобразени със знанията на потенциалните читатели.
Ако просто искате да си избивате комплексите , че сте по един или друг начин недооценен Ви съветвам да си намерите друго място за целта.

На което небезизвестният потребител Румен Симеонов, който се старае прецизно да изясни какво може и какво не може да се признае за решение на задача от НВО за 7-ми клас, а и да помогне на учениците да излязат извън схемите на които ги приучават, а и дали е вярно посгавеното заглавие на задачата, отговори с кратичък въпрос:
А вие ,,Гост" кой всъщност сте и в какво си качество си позволявате да коментирате качества на личността ми, да налагате изисквания към мен и да ме обиждате публично, без да се изказвате по темата, като не отчитате, че има отделно място за коментиране правилата на форума, а и моля Ви съобразете, че всичко което съм написал е по темата, а и нямаше да пиша толкова много, ако не бях непрекъснато предизвикван, от ваши или подобни на вашите коментари. Май Вие избивате някакви комплекси, а не аз. Спрете най-после и се идентифицирайте, за да мога, ако реша, евентуално, да Ви повдигна съответно обвинение по НК. Аз поне давам оригинално мое решение и защитавам качествата му. Вие като нямате Ваше решение бихте могъл, при желание, да коментирате качествата на дадените решения. Това би бил коментар по темата. Но Вие способен ли сте на такъв?