Геометрия 2-ри модул

[math10.com]

Сега е момента за подготовка за НВО.Ето една хубава задача от 2-ри модул.
Пожелавам успех на предстоящите изпити на всички седмкласници.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и AH = 2 AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

[Гост]

kakvo e NVO?

[Гост]

ННационално Външно Оценяване

[Гост]

a kakvo tochno oznachava tova neshto?

[Гост]

a kakvo tochno oznachava tova neshto?

Матура по Български език и литература и математика след 7клас,оценките от която са вход за различни специализирани училища след 7 клас

[Гост]

aha, mersi...znachi osven taja matura ima i standarten izpit sled 7-mi klas za drugite uchilishta?

[ammornil]

aha, mersi...znachi osven taja matura ima i standarten izpit sled 7-mi klas za drugite uchilishta?

Матурата има за цел да провери нивото на подготовка на учениците в края на ниво Основно образование. Това е общ изпит за всички ученици, завършващи седми клас, не само за тези които искат да кандидастват.
Когато аз бях в седми клас, нямаше задължителни матури, а се провеждаха национални изпити по различни предмети за желаещите да кандидастват в различни училища (някой, предимно частни училища, все още провеждат собстевни изпити за прием и не вземат в предвид матуритетните резултати, но държавните училища правят подбор на какндидати след седми клас на основа резултатите от матурите и избрани предмети от общата диплома).
Пак преди години в моя роден град имаше средно специализирано училище, в което почти нямаше ученици от моя роден град. Причината, приемаха по диплома след осми клас и учениците от селата идваха с пълно шест дипломи. Най-видно беше по олимпиадите за девети клас, как от това училище никога нямаше участници след кръга в училището.
Ако някой е учил на село и се чувства обиден от предното ми изказване: не си правете труда ми казвате колко сте обидени. Не казвам, че всички ученици идващи от селски училища не притежаваха подготовка, много мои съученици бяха от село и добре поготвени, но те влязоха с приемен изпит след седми клас. Понеже имаше прием по диплома, някои учители имаха нагласата да "надуват" дипломите на "съседските деца", и най-често това ставаше в селата.

Матурите са за всички ученици завършващи седми клас. Националното Външно Оценяване има за цел да минимизира ефекта на "подарените дипломи за кандидастване" и да направи по-високи шансовете на реално по-подготвените деца да продължат в желаното средно образование.

[Гост]

znachi njama drug izpit sled 7-mi klas...samo tazi HBO matura?

[Гост]

znachi njama drug izpit sled 7-mi klas...samo tazi HBO matura?

Този е задължителен за всички седмокласници.Но за училищата свързани с изкуството децата се явяват и на още един изпит - зависи от училището - балет,музика, рисуване

[Гост]

znachi njama drug izpit sled 7-mi klas...samo tazi HBO matura?

Този е задължителен за всички седмокласници.Но за училищата свързани с изкуството децата се явяват и на още един изпит - зависи от училището - балет,музика, рисуване

[Гост]

a za kakvo e tazi HBO matura sled 10 klas? i posle sled 12 oshte edna? tri zadulzhitelni maturi? lelelele......

[Румен Симеонов]

Сега е момента за подготовка за НВО.Ето една хубава задача от 2-ри модул.
Пожелавам успех на предстоящите изпити на всички седмкласници.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и AH = 2 AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

Струва ми се, че единствено число за ,,мяркаТА на ∢AMN" е малко объркващо и некоректно за ученици от 7-ми клас". Само подскажете, вярно ли е, че тази мярка е единствена и една и съща за всички успоредници ABCD с точки M, N удовлетворяващи условието на задачата? Питам, защото на мен, на първоначален оглед, ми се струва, че има цял интервал от възможни стойности на въпросната мярка, на който интервал засега ми е трудно да определя краищата, а и все още не знам дали въобще са определими в явен вид, особено пък със знания преподавани до 7-ми клас? Ще науча много от решението, когато го изложите. Благодаря предварително! Явно задачата е неподходяща за хора, които ходят на работа, но дали е (не)подходяща и за ученици до 7-ми клас? Чудя се дали пък не е допусната някоя грешка, от невнимание или умора, при записване на условието, която грешка е направила задачата по-трудна от тази, която и както е била оригинално замислена? Нали 90 са градуси и ,,2 AC" e равно на ,,2.АС"?

[Гост]

ima smisul, ako e 60...tva zadacha ot matura li e?

[Jack]

Получавам, че $\angle AMN = 60 ^\circ$. Как го получавам? Накратко доказвам, че $ABCD$ е ромб (заради $AC \bot BD$). Ползвам, че диагоналите в успоредник се разполовяват. Намирам, че $\angle ADH=30^\circ$. След това доказваме едни равнобедрени триъгълници, като $AM$ и $AN$ са височини в равнобедрените триъгълници $ADC$ и $BAC$. Съответно $CM = CN$. Получавам равнобедрен тригълник $AMN$ с ъгъл, равен на $60^\circ$. Тоест е равностранен. Моля да ме поправите, ако някъде греша. След известно време ще публикувам цялото си решение (стига да е вярно ).

[Гост]

Вярно е до момента [tex]CM=CN[/tex].
Помисли малко за да я довършиш правилно и напиши цялото си решение

[Румен Симеонов]

Получавам, че $\angle AMN = 60 ^\circ$. Как го получавам? Накратко доказвам, че $ABCD$ е ромб (заради $AC \bot BD$). Ползвам, че диагоналите в успоредник се разполовяват. Намирам, че $\angle ADH=30^\circ$. След това доказваме едни равнобедрени триъгълници, като $AM$ и $AN$ са височини в равнобедрените триъгълници $ADC$ и $BAC$. Съответно $CM = CN$. Получавам равнобедрен тригълник $AMN$ с ъгъл, равен на $60^\circ$. Тоест е равностранен. Моля да ме поправите, ако някъде греша. След известно време ще публикувам цялото си решение (стига да е вярно ).

Донякъде, може би щяхте да Сте намерил един от възможните отговори (с евентуално допъване на написаното от Вас), но ако беше дадено, че AH = (1/2).AC, а то е дадено, че AH = 2 AC. ,,Намиране" включва и доказване. Иначе не казвам, че $60^\circ$ не е един от възможните отговори, но дори и да е - това не го виждам вярно даказано във вашите разсъждения, а и няма как да се допълнят Вашите разсъждения, които допълнени да са изцяло верни (а не да се добави изцяло ново разсъждение неизползващо сегашните),, защото от сегашните вече следва, че AH = (1/2).AC, а може би те даже са и основани на AH = (1/2).AC (ще разберем когато ги запишете изцяло), което е в противоречие с частта от условието AH = 2 AC.

[Румен Симеонов]

Вярно е до момента [tex]CM=CN[/tex].
Помисли малко за да я довършиш правилно и напиши цялото си решение

Ако беше вярно, включително с M и N - пети на перпендикуляри - височини в равнобедрени триъгълници (както се твърди), щеше да следва AH = (1/2).AC, което е в противоречие с частта от условието AH = 2 AC. Единствено може да ми опонирате, като кажете, че не му пречи да вярно въпреки, че е (и) невярно - ха, ха, интересно. Но пък, като доказателство (а не като резултат и то частичен) все пак не е вярно, защото то, изглежда, когато се доизпише докрай, ще излезе че дори се основава на и използва, че AH = (1/2).AC или на нещо пособно, което го няма в условието, а и не се доказва в ,,решението".

[Румен Симеонов]

Сега е момента за подготовка за НВО.Ето една хубава задача от 2-ри модул.
Пожелавам успех на предстоящите изпити на всички седмкласници.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и AH = 2 AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

Припомняне на условието.

[math10.com]

Задачата е от примерен тест НВО втори модул 2012г.Извинявам се за допуснатата грешка.Коректното условие е това.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и 2AH = AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

[Евва]

Така зад. става много по-приятна .
Използвах Питагорова теорема и с малко повечко писане доказах ,че AM=MN=AN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AMN=60[tex]^\circ[/tex]

Все още не зная ползва ли се тази теорема в 7 клас .

[Jack]

Така зад. става много по-приятна .
Използвах Питагорова теорема и с малко повечко писане доказах ,че AM=MN=AN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AMN=60[tex]^\circ[/tex]

Все още не зная ползва ли се тази теорема в 7 клас .

Питагоровата теорема учих в $6$ клас, обаче с цели числа.
Иначе относно идеята за решаване, аз успях да я реша с еднакви триъгълници. Все пак ще се радвам да публикувате Вашето решение с Питагорова теорема, за да имам набор тактики за решаване на някои задачи. Ето го моето решение (ако видите неточности или грешки, не се колебайте да ме поправите, моля):

Задачата е от примерен тест НВО втори модул 2012г.Извинявам се за допуснатата грешка.Коректното условие е това.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и 2AH = AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

Най-точният чертеж, който успях да направя на GeoGebra:

First Math Task ;).png (250.78 KiB) Прегледано 1163 пъти

Забележка по чертежа:
Оцветените ъгли са равни (по-късно в решението доказваме това).

Моето решение (разбира се, ако намерите някоя грешка, не се колебайте да ме поправите):

Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб. [tex]\Rightarrow[/tex] $ABCD$ е ромб.
Нека $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $O$.

По условие $2 \times AH = AC$. Понеже диагоналите в успоредник (за ромб важи същото) се разполовяват взаимно, то $AO = OC$.
[tex]\Rightarrow[/tex] $AC = AO + OC = 2 \times AO$.
$AC = 2 \times AH = 2 \times AO$ [tex]\Rightarrow[/tex] $AH = AO$

$1)$ $\angle AHD = \angle AOD = 90 ^\circ$
$2)$ $AH = AO$ (двата катета в правогълните триъгълници $AHD$ и $AOD$ са равни)
$3)$ $AD$ e обща страна ($AD$ е хипотенуза в триъгълниците $AHD$ и $AOD$)
[tex]\Rightarrow[/tex] $\triangle AHD \cong \triangle AOD$ по признака за еднаквост на правоъгълни триъгълници (или така нареченият четвърти признак за еднаквост)

От $\triangle AHD \cong \triangle AOD$: $\angle ADH = \angle ADB$
От $ABCD$ е ромб: $\angle BDA = \angle BDC$ (понеже диагоналите в ромб са винаги ъглополовящи)

[tex]\Rightarrow[/tex] $\angle ADH = \angle ADB = \angle BDC$
$BH$ $||$ $DC$ [tex]\Rightarrow[/tex] $\angle CDH = 90 ^\circ$, тоест $\angle ADH + \angle ADB + \angle BDC = 3 \times \angle ADH = 3 \times \angle ADB = 3 \times \angle BDC = 90 ^\circ$
[tex]\Rightarrow[/tex] $\angle ADH = \angle ADB = \angle BDC = 90 : 3 = 30 ^\circ$

[tex]\Rightarrow[/tex] В ромба $ABCD$: $\angle BAD = \angle BCD = 120 ^\circ$ и $\angle ABC = \angle ADC = 60 ^\circ$.
$\angle DAC = \angle BAC = \angle ACD = \angle ACB = 120 : 2 = 60 ^\circ$
[tex]\Rightarrow[/tex] $\angle ACD = \angle ADC = \angle DAC = \angle ACB = \angle ABC = \angle BAC = 60 ^\circ$ [tex]\Rightarrow[/tex] $AB = AC = BC = CD = AD$

По условие $CM + CN = AC$, а пък $AC = AD = DC = BC = AB$.
$$DC = DM + CM$$ $$BC = CN + BN$$ [tex]\Rightarrow[/tex] $$BC = DM + CM = CN + BN = CM + CN$$
[tex]\Rightarrow[/tex] $DM = CN$ и $CM = BN$

$1)$ $CM = BN$
$2)$ $AB = AC$
$3)$ $\angle ACM = \angle ABN = 60^\circ$
[tex]\Rightarrow[/tex] От $1), 2), 3)$ $\triangle AMC \cong \triangle ANB$ по първи признак за еднаквост на триъгълници
[tex]\Rightarrow[/tex] $\angle BAN = \angle CAM$ и $AM = AN$

Нека $\angle CAM = x ^\circ$ и $\angle CAN = y ^\circ$. [tex]\Rightarrow[/tex] $\angle BAN = \angle BAC - \angle CAN = 60 ^\circ - y$.
По-рано получихме, че $\angle BAN = \angle CAM$, тоест $60 - y = x$ [tex]\Rightarrow[/tex] $x + y = 60 ^\circ = \angle MAN$

$\angle MAN = 60 ^\circ$ и $AM = AN$ [tex]\Rightarrow[/tex] $\triangle AMN$ е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex]

Отговор: $\angle AMN = 60 ^\circ$

[S.B.]

Задачата е от примерен тест НВО втори модул 2012г.Извинявам се за допуснатата грешка.Коректното условие е това.

Даден е успоредник ABCD, за който AC ⊥ BD , ∢ BAD > 90 , DH ⊥ AB (Н лежи на
правата АВ) и 2AH = AC . Точките M и N лежат съответно на страните DC и BC и са
такива, че CM + CN = AC. Да се намери мярката на ∢AMN

Без заглавие - 2023-05-28T162140.217.png (346.81 KiB) Прегледано 1135 пъти

Още един поглед върху задачата

Теорема - признак: Успоредник са взаимно перпендикулярни диагонали е ромб

$ABCD$ е ромб със страна $a$
[tex]AC \cap BD = O , AC \bot BD , \angle BAD > 90 ^\circ DH \bot AB, H \in AB[/tex]
[tex]2AH = AC \Rightarrow AH = \frac{AC}{2} \Rightarrow AH = AO (= OC)[/tex]
Нека $DH = h$
[tex]\triangle DAH \cong \triangle DAO[/tex] (правоъгълни,по катет и хипотенуза)[tex]\Rightarrow DO = DH = h[/tex]
[tex]\begin{cases} DO = h \\ DO = BO \end{cases} \Rightarrow BO = h \Rightarrow BD = 2h[/tex]
[tex]\triangle HBD[/tex] е правоъгълен, $BD = 2h$ е хипотенуза , $DH = h$ е катет [tex]\Rightarrow \angle HBD = 30 ^\circ[/tex]
Но $BD$ е диагонал в ромб [tex]\Rightarrow BD[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC \Rightarrow \angle ABC = 2 \angle ABD[/tex]
$$\Rightarrow \angle ABC = 60 ^\circ \Rightarrow AC = AB = a$$
По условие [tex]M \in CD , N \in BC[/tex] ,такива,че [tex]CM + CN = AC \Leftrightarrow CM + CN = a[/tex]
Нека [tex]CM = x \Rightarrow CN = a - x[/tex]
Тогава $DM = CN = a - x$ и $BN = CM = x$
$AC$ е ъглополовяща на [tex]\angle DCB = 120 ^\circ[/tex] и на [tex]\angle DAB = 120 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle MAC \cong \triangle NAB[/tex] (първи признак - [tex]AC = AB = a,MC = NB = x, \angle ACM = \angle ABN = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow AM = AN , \angle MAC = \angle NAB = \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle DAM = \angle CAN = 60 ^\circ - \varphi[/tex]

[tex]\angle MAN = \angle MAC + \angle NAC \Leftrightarrow \angle MAN = \varphi + 60 ^\circ - \varphi \Rightarrow \angle MAN = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\begin{cases} \angle MAN = 60 ^\circ \\ AM= AN \end{cases} \Rightarrow \triangle AMN[/tex] е равностранен
[tex]\Rightarrow \angle AMN = 60 ^\circ[/tex]

[Евва]

Както колегите са доказали ABCD е ромб с ъгли 60[tex]^\circ[/tex] и 120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ACD е равностранен .
Нека AB=2a и CM=x .Дадено CM+CN=AC ; CM+CN=CD ;x+CN=2a ; CN=2a-x
Намираме DM=CD-CM=2a-x и BN=BC-CN=2a- (2a-x) =x
Построявам правоъгълниците HAFD и ATPF ,като т. N лежи на отсечката TP .
[tex]\angle[/tex]HDA=90[tex]^\circ[/tex] -[tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex] =30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] HA= [tex]\frac{AD}{2}[/tex]= a
([tex]\triangle[/tex]HAD - правоъгълен) [tex]HD^{2 } +a^{2 } = 4 a^{2 }[/tex] ; HD=a[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ACD е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] построената височина AF се явява и медиана т.е. DF=CF=a ;;FM=CF-CM=a-x
( [tex]\triangle[/tex]AMF- правоъгълен ) [tex]AM^{2}=AF^{2 }+ FM^{2 }[/tex] =3[tex]a^{2 }[/tex]+[tex](a- x)^{2 }[/tex] ;[tex]AM^{2 }[/tex]=4[tex]a^{2 }[/tex]-2ax+[tex]x^{2 }[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]TBN е правоъгълен и [tex]\angle[/tex]TBN=[tex]\angle[/tex]ABC=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BNT=30[tex]^\circ[/tex] ;TB=[tex]\frac{BN}{2}[/tex]=[tex]\frac{x}{2}[/tex] ,значи АТ=2а-[tex]\frac{х}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]TBN -правоъгълен) [tex]TN^{2 } + TB^{2 } = BN^{2 }[/tex] ;[tex]TN^{2 }[/tex]+[tex]\frac{ x^{2 } }{4}[/tex]=[tex]x^{2 }[/tex] ; TN=[tex]\frac{x \sqrt{3} }{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ATN -правоъгълен) [tex]AN^{2 }= AT^{2 }+ TN^{2 }[/tex]=[tex](2a- \frac{x}{2} ) ^{2 }[/tex]+([tex]\frac{x \sqrt{3} )}{2} ^{2 }[/tex]=
=4[tex]a^{2 }[/tex]-2.2a.[tex]\frac{x}{2}[/tex]+[tex]\frac{ x^{2 } }{4}[/tex]+[tex]\frac{3 x^{2 } }{4}[/tex] ; [tex]AN^{2 }[/tex]=4[tex]a^{2 }[/tex]-2ax+[tex]x^{2 }[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]NPC е правоъгълен по построение и [tex]\angle[/tex]CNP=[tex]\angle[/tex]BNT =30[tex]^\circ[/tex] ( връхни ъгли ) [tex]\Rightarrow[/tex] CP=[tex]\frac{NC}{2} = \frac{2a-x}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]NPM -правоъгълен ) [tex]MN^{2 }= NP^{2 }+ MP^{2 }[/tex]=[tex](TP-TN) ^{2 }[/tex]+[tex](MC+CP)^{2 }[/tex]=
=[tex](a \sqrt{3} - \frac{x \sqrt{3} }{2} )^{2 }[/tex] +[tex](x+ \frac{2a-x}{2} )^{2 }[/tex]=3[tex]a^{2 }[/tex]-2a[tex]\sqrt{3}[/tex].[tex]\frac{x \sqrt{3} }{2}[/tex]+[tex]\frac{3 x^{2 } }{4}[/tex]+[tex]x^{2 }[/tex]+2x.[tex]\frac{2a-x}{2}[/tex]+[tex]\frac{4 a^{2 } -4ax+ x^{2 } }{4}[/tex]=

=3[tex]a^{2 }[/tex]-3ax+[tex]\frac{3 x^{2 } }{4}[/tex]+[tex]x^{2 }[/tex]+2ax-[tex]x^{2 } + a^{2 }[/tex]- ax+[tex]\frac{ x^{2 } }{4}[/tex] ; [tex]MN^{2 }[/tex]=4[tex]a^{2 }[/tex]-2ax+[tex]x^{2 }[/tex] (3)

От (1) ,(2) и (3) следва ,че AM=AN=MN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ANM е равностранен и трите му ъгъла са от 60[tex]^\circ[/tex]
Не ми давайте точка .