Разлагане на квадратен тричлен

[Гост]

Може ли някой да ми обясни как се разлага в тази задача? (без формули за квадратно уравнение от по-горните класове)
Благодаря!

[ammornil]

Всеки квадратен тричлен се разлага на множители от вида [tex](ax+b)(cx+d)[/tex].
За дадения тричлен: [tex]2x^{2}-11x+15=(2x-5)(cx+d) \Leftrightarrow 2x^{2}-11x+15=2cx^{2}+2dx-5cx-5d \Leftrightarrow 2x^{2}-11x+15=2cx^{2}+(2d-5c)x-5d[/tex]
Понеже двете страни имат еднаква форма, то коефициентите пред всяка степен на неизвестното са равни. [tex]\Rightarrow \begin{cases} 2c=2 \rightarrow c=1 \\ -5d=15 \rightarrow d=-3 \\ 2d-5c=-11 \end{cases}[/tex]
Третото равенство е проверка, която показва че сме работили правилно.
Тогава вторият множител е [tex]cx+d=1x-3=x-3[/tex]

Друг начин, когато имате дадени отговори, е да умножите [tex]2x-5[/tex] със всеки от изразите от отговорите, да приведете в нормален вид и да видите кое произведение дава началния израз [tex]2x^{2}-11x+15[/tex].

[Гост]

Благодаря, а може ли да ми обясните откъде може да се получи отговора, който са дали в учебника?

[grav]

Очевидно не е В), защото като умножим старшишият коефициент ще е 4 . Също така е очевидно, че не е Б) или Г) защото свободния член ще е -15 и -25 съответно. Занчи е А).

[grav]

Благодаря, а може ли да ми обясните откъде може да се получи отговора, който са дали в учебника?

Това е за друга задача!

[Гост]

Извинявам се за объркването. Може ли да помоля за обяснение на тези две задачи?

[Гост]

Благодаря, grav. А последните две успях да ги реша чрез разширяване до точен квадрат. Благодаря!!!

[Гост]

Оказа се, че нищо не съм решила. Така че, ако има кой, моля да ми напише как се решават и последните две.

[grav]

Оказа се, че нищо не съм решила. Така че, ако има кой, моля да ми напише как се решават и последните две.

Какво се иска? Да се разложат?

[S.B.]

Може ли някой да ми обясни как се разлага в тази задача? (без формули за квадратно уравнение от по-горните класове)
Благодаря!

Нека пробвам и аз!

[tex]2x^{2 } -11x + 15[/tex]
представяш - 11x = -6x - 5x , за да можеш да комбинираш с 15 и [tex]2x^{2 }[/tex]

[tex]2x^{2 } - 11x + 15 =[/tex]

[tex]= 2 x^{2 } - 6x - 5x +15 =[/tex]

[tex]= (2 x^{2 } - 6x) - (5x - 15) =[/tex]

[tex]= 2x(x - 3) - 5(x - 3) =[/tex]

[tex]= (x - 3)(2x - 5)[/tex]

$$\Rightarrow 2x^{2 } - 11x + 15 = (2x - 5)(x - 3) $$

[S.B.]

Оказа се, че нищо не съм решила. Така че, ако има кой, моля да ми напише как се решават и последните две.

Прибавяш и изваждаш 1 за да получиш разлика на два квадрата:

[tex]4 x^{2 } + 4x - 15 = 4 x^{2 } + 4x +1 - 1 - 15 = (2x + 1)^{2 } - 16 = (2x + 1)^{2 } - 4^{2 } =[/tex]
[tex]= (2x + 1 + 4)(2x + 1 - 4) = (2x + 5)(2x - 3)[/tex]

[S.B.]

Оказа се, че нищо не съм решила. Така че, ако има кой, моля да ми напише как се решават и последните две.

Представяш 15x = 21x - 6x за да можеш да комбинираш с [tex]9x^{2 }[/tex] и -14

[tex]9 x^{2 } + 15x -14 = 9 x^{2 } + 21x - 6x - 14 =[/tex]

[tex]= ( 9x^{2 } - 6x) + (21x - 14) = 3x(3x - 2) + 7(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 7)[/tex]

$$\Rightarrow 9 x^{2 } + 15x - 14 = (3x -2)(3x + 7) $$

[Гост]

Но S.B., как мога сама да преценя по какъв начин да разбия едночлена от първа степен. Какъв е принципът?

[ptj]

За разлагането на квдратен тричлен на множители има универсален метод : отделяне на точен квадрат.
Когато той се запише с параметри за коефициентите, се получават точно теорията, която се учи в 8-ми клас относно квадратните уравнения (кога имат решения и кои са техните корени).

Пример: Дa разложим

[tex]9x^2+15x-14=[/tex]


Първо искаме коефициента пред [tex]x^2[/tex] да е 1. Затова записваме горния квадратен тричлен като:

[tex]=9(x^2+ \frac{15}{9}x- \frac{14}{9})=[/tex]

Второ - извличаме множител 2 от коефициента пред [tex]x[/tex], (т.е. да получим нещо от рода на [tex]2.а.x[/tex] ):

[tex]=9(x^2+2. \frac{15}{18} x- \frac{14}{9})=[/tex]

Ако не сте забелязали вече израза в скобите съдържа [tex]x^2+2ax[/tex], (където [tex]a= \frac{15}{18}[/tex]).

Стреми се да отделим точен квадрат, затова вътре в скобите прибавяме и изваждаме по едно [tex]а^2[/tex].

[tex]=9\bigg(x^2+2. \frac{15}{18}x+ (\frac{15}{18})^2-( \frac{15}{18})^2- \frac{14}{9}\bigg)=9\bigg((x+ \frac{15}{18})^2- \frac{15^2+2.18.14}{18^2}\bigg)=9\bigg((x+ \frac{15}{18})^2- \frac{729}{18^2}\bigg)=9\bigg((x+ \frac{15}{18})^2- (\frac{27}{18} )^2\bigg)=[/tex]

Прилагаме [tex]u^2-v^2=(u+v)(u-v)[/tex]:


[tex]=9\bigg((x+ \frac{15}{18}+ \frac{27}{18}\bigg)\bigg(x+ \frac{15}{18}- \frac{27}{18}\bigg)=9\bigg(x+ \frac{42}{18}\bigg)\bigg(x- \frac{12}{18}\bigg)=9\bigg(x+ \frac{7}{3} \bigg)\bigg(x- \frac{2}{3}\bigg)=(3x+7)(3x-2)[/tex]

[Гост]

Ако не сте забелязали задачата е за 7 ,а не за 8 клас,когато се учат квадратните уравнения...

[grav]

За разлагането на квдратен тричлен на множители има универсален метод : отделяне на точен квадрат.
Когато той се запише с параметри за коефициентите, се получават точно теорията, която се учи в 8-ми клас относно квадратните уравнения (кога имат решения и кои са техните корени).

Пример: Дa разложим

[tex]9x^2+15x-14=[/tex]


Първо искаме коефициента пред [tex]x^2[/tex] да е 1. Затова записваме горния квадратен тричлен като:

[tex]=9(x^2+ \frac{15}{9}x- \frac{14}{9})=[/tex]

Защо? Можеш без да отделяш коефициента

[tex]9x^2+15x-14= (3x)^2+5(3x)-14[/tex]

[ptj]

Защото са учили [tex](x \pm a)^2=x^2 \pm 2ax+а^2[/tex].
Всяка замяна (полагане) към друга променлива ги обърква.

П.П. Можех да им напиша директи формули за корените и разлагания, но не мисля че ще разберат кое, как и защо се получава.