как да намеря ъгъла между ъглополовящите

[Гост]

В остроъгълен триъгълник ъгълът между височините през върховете B и C е 140.Колко градуса е ъгълът между ъглополовящите B и C ?

[S.B.]

В остроъгълен триъгълник ъгълът между височините през върховете B и C е 140.Колко градуса е ъгълът между ъглополовящите B и C ?

Без заглавие (17).png (274.11 KiB) Прегледано 798 пъти

[tex]C C_{1 } \bot AB,B B_{1 } \bot AC, C C_{1 } \cap B B_{1 } = H[/tex]
Сборът от вътрешните ъглите на всеки изпъкнал четириъгълник е [tex]360^\circ \Rightarrow[/tex]сборът от вътрешните ъгли на четириъгълника [tex]A C_{1 }H B_{1 }[/tex] е равен на [tex]360^\circ \Rightarrow \angle A = 40 ^\circ[/tex]
Нека означим [tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta , \angle C = \gamma[/tex]
$CL $ и $ BL$ са ъглополовящи съответно на [tex]\angle C[/tex] и [tex]\angle B[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle BCL[/tex] където [tex]\angle LBC = \frac{ \beta }{2}[/tex] и [tex]\angle LCB = \frac{ \gamma }{2}[/tex]
$$ \Rightarrow \angle CLB = 180 ^\circ - ( \frac{ \beta }{2} + \frac{ \gamma }{2})$$
За [tex]\triangle ABC[/tex] е изпълнено:
[tex]\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ \Leftrightarrow 40 ^\circ + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \beta + \gamma = 140 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \frac{ \beta }{2} + \frac{ \gamma }{2} = 70 ^\circ $$
[tex]\angle CLB = 180 ^\circ - ( \frac{ \beta }{2}+ \frac{ \gamma }{2}) \Leftrightarrow \angle CLB = 180 ^\circ - 70 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle CLB = 110 ^\circ $$